Matrice identità

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In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con  I oppure con  I_n , dove  n è il numero di righe della matrice.


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
\quad
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
\quad
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\quad \cdots \quad
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • La proprietà fondamentale di I_n è che:
 AI_n = A \qquad I_nB = B
per ogni matrice  A e  B per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.

Notazioni[modifica | modifica sorgente]

Usando la notazione usata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

 I_n = \mathrm{diag}(1,1,\dots,1)

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

(I_n)_{ij} = \delta_{ij}

Anello delle matrici[modifica | modifica sorgente]

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici n \times n a valori in un campo fissato K.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare \mathrm{GL}(n,K) formato da tutte le matrici invertibili n \times n a valori in K.

Trasformazioni lineari[modifica | modifica sorgente]

Sia K un campo. Ogni matrice quadrata  A induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale K^n in sé, definita nel modo seguente:

 x \mapsto Ax

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
  • (EN) Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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