Spazio affine

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Lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine, "centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri.

Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono studiati con gli strumenti dell'algebra lineare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una delle più comuni è la seguente:[1] sia \mathbb A \ne \empty insieme e sia  \phi: \mathbb A \times \mathbb A \to V\,\! funzione a valori in un K-spazio vettoriale V.

(\mathbb A,\phi ) viene detto spazio affine se valgono i seguenti fatti:

  1. per ogni punto  P fissato, l'applicazione che associa a  Q il vettore \phi(P,Q) è una biiezione da \mathbb A in V;
  2. per ogni terna di punti  P , Q, R vale la relazione di Chasles:
    \phi(P,Q) + \phi(Q,R) = \phi(P,R).

Gli elementi di  \mathbb A vengono chiamati punti affini (o semplicemente punti) mentre l'immagine \phi(P,Q) è chiamata vettore applicato da P in Q ed è indicata generalmente con il simbolo  \overrightarrow {PQ} .

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

La definizione seguente è equivalente alla precedente.[2]

Uno spazio affine \mathbb A è un insieme dotato di una funzione

f:A\times V \to A\,\!

dove V è uno spazio vettoriale su un campo K, generalmente indicata con il segno + nel modo seguente

f(P,v) = P + v

tale che

  1. per ogni punto P fissato, l'applicazione che associa al vettore v il punto P+v è una biiezione da V in A;
  2. per ogni punto  P in A e ogni coppia di vettori v, w in V vale la relazione
    (P+v)+w = P+(v+w).

Le due definizioni sono collegate dalla relazione

P + \overrightarrow {PQ} = Q.

Due elementi di questa relazione determinano il terzo. Ad esempio, Q è il punto raggiunto applicando il vettore \overrightarrow {PQ} a P, mentre \overrightarrow{PQ} è l'unico vettore che "collega" i due punti P e Q.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio vettoriale.

Ogni spazio vettoriale V è esso stesso uno spazio affine, avente come spazio vettoriale associato V stesso.

(V,\phi) con la mappa \phi definita come

\phi(v,w) = w-v

Mentre nella definizione alternativa la funzione f è la semplice somma fra vettori in V.

Prime Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia  \mathbb A uno spazio affine associato a  V  K -spazio vettoriale.

  •  \forall P\in \mathbb A \; \; \overrightarrow {PP}=0
  •  \forall P,Q \in \mathbb A \; \; \overrightarrow {QP}=-\overrightarrow {PQ}

Riferimento affine[modifica | modifica wikitesto]

Come per gli spazi vettoriali dove è possibile avere una base dello spazio, in uno spazio affine \mathbb{A} si può considerare un riferimento affine, ovvero un insieme di punti a_0, \dots, a_k dello spazio affinemente indipendenti tali che la loro combinazione affine generi tutto lo spazio, ovvero Comb(a_0, \dots, a_k) = \mathbb{A}.

Sottospazi affini[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sottospazio affine.

Sia (\mathbb A,\phi ) uno spazio affine associato a  V  K -spazio vettoriale.

Un sottoinsieme \emptyset \neq S\subseteq \mathbb A si dice sottospazio affine se \phi_{|(S \times S)} induce uno spazio affine, ossia se Im(\phi_{|(S\times S)}) è un sottospazio vettoriale di V.

Si dimostra inoltre che S\subseteq \mathbb A è un sottospazio affine se e solo se è chiuso per combinazioni affini.

Un sottospazio affine S di \mathbb A è un sottoinsieme rappresentabile come:

S = P + W = \{P + w \ |\ w \in W\}

dove  P è un punto fissato di \mathbb A e W è un sottospazio vettoriale di V.

Giacitura[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come S=P+W.

In tutte queste rappresentazioni, P può variare (può essere un punto qualsiasi di S, a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma W risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di V è chiamato giacitura (o spazio direttore) di S.

La giacitura è definita intrinsecamente come

Giac(S) = Im(\phi_{|(S\times S)})= \{\overrightarrow {PQ}\ |\ P,Q\in S \}.

La dimensione di S è definita come la dimensione di  Giac(S).

Sottospazio generato[modifica | modifica wikitesto]

Il sottospazio affine generato da alcuni punti  x_1, \ldots, x_k in A è il più piccolo sottospazio che li contiene.

Relazioni[modifica | modifica wikitesto]

Due sottospazi affini S_1 , S_2 sono detti:

  • incidenti se S_1 \cap S_2 \neq \empty
  • paralleli se Giac(S_1) \subseteq Giac(S_2) oppure Giac(S_1) \supseteq Giac(S_2)
  • sghembi se S_1 \cap S_2 = \empty e Giac(S_1) \cap Giac(S_2)=\{0\}
  • esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.

Sottospazi affini in spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale V è anche affine, e quindi si è definita anche la nozione di sottospazio affine di V: in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio vettoriale  W lungo il vettore P.

Formula di Grassmann[modifica | modifica wikitesto]

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sernesi, p. 93
  2. ^ Sernesi, p. 102

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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