Spazio affine

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Nell'approccio algebrico, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine, "centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri.

Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono studiati con gli strumenti dell'algebra lineare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una delle più comuni è la seguente:[1] sia insieme e sia funzione a valori in un -spazio vettoriale .

viene detto spazio affine se valgono i seguenti fatti:

  1. per ogni punto fissato, l'applicazione che associa a il vettore è una biiezione da in ;
  2. per ogni terna di punti , , vale la relazione di Chasles:

Gli elementi di vengono chiamati punti affini (o semplicemente punti) mentre l'immagine è chiamata vettore applicato da in ed è indicata generalmente con il simbolo .

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

La definizione seguente è equivalente alla precedente.[2]

Uno spazio affine è un insieme dotato di una funzione

dove è uno spazio vettoriale su un campo , generalmente indicata con il segno + nel modo seguente

tale che

  1. per ogni punto fissato, l'applicazione che associa al vettore il punto è una biiezione da in ;
  2. per ogni punto in e ogni coppia di vettori in vale la relazione

Le due definizioni sono collegate dalla relazione

Due elementi di questa relazione determinano il terzo. Ad esempio, è il punto raggiunto applicando il vettore a , mentre è l'unico vettore che "collega" i due punti e .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio vettoriale.

Ogni spazio vettoriale è esso stesso uno spazio affine, avente come spazio vettoriale associato stesso.

con la mappa definita come

Mentre nella definizione alternativa la funzione è la semplice somma fra vettori in .

Prime Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio affine associato a -spazio vettoriale.

Riferimento affine[modifica | modifica wikitesto]

Come per gli spazi vettoriali dove è possibile avere una base dello spazio, in uno spazio affine si può considerare un riferimento affine, ovvero un insieme di punti dello spazio affinemente indipendenti tali che la loro combinazione affine generi tutto lo spazio, ovvero .

Sottospazi affini[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sottospazio affine.

Sia uno spazio affine associato a -spazio vettoriale.

Un sottoinsieme si dice sottospazio affine se induce uno spazio affine, ossia se è un sottospazio vettoriale di .

Si dimostra inoltre che è un sottospazio affine se e solo se è chiuso per combinazioni affini.

Un sottospazio affine di è un sottoinsieme rappresentabile come:

dove è un punto fissato di e è un sottospazio vettoriale di .

Giacitura[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come .

In tutte queste rappresentazioni, può variare (può essere un punto qualsiasi di , a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di è chiamato giacitura (o spazio direttore) di .

La giacitura è definita intrinsecamente come

La dimensione di è definita come la dimensione di .

Sottospazio generato[modifica | modifica wikitesto]

Il sottospazio affine generato da alcuni punti in è il più piccolo sottospazio che li contiene.

Relazioni[modifica | modifica wikitesto]

Due sottospazi affini , sono detti:

  • incidenti se
  • paralleli se oppure
  • sghembi se e
  • esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.

Sottospazi affini in spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale è anche affine, e quindi si è definita anche la nozione di sottospazio affine di : in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio vettoriale lungo il vettore .

Formula di Grassmann[modifica | modifica wikitesto]

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sernesi, p. 93
  2. ^ Sernesi, p. 102

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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