Formula di Grassmann

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In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e costituiscono un reticolo modulare.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su un campo dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano e due sottospazi di . Indicando con il sottospazio somma di e dato da:[1]

e con il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:[2]

Somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Somma diretta.

Due sottospazi e sono in somma diretta se . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

Se inoltre , si dice che si decompone in somma diretta di e e si scrive:

In questo caso il sottospazio è un supplementare di (e viceversa).

Ad esempio, lo spazio delle matrici quadrate a coefficienti in un campo si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Struttura della dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La formula si dimostra individuando due basi per e che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base per , e si completa ad una base di , e ad una base di . I vettori in:

generano lo spazio , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per . Un conteggio degli elementi nelle quattro basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineare[modifica | modifica wikitesto]

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:

In altre parole, raggruppando:

si ottiene:

Da questo segue che , e poiché sia che appartengono a , ne segue che anche appartiene a . Quindi appartiene all'intersezione , e si scrive come combinazione lineare di elementi di . D'altra parte, come elemento di , è descritto come combinazione lineare di elementi di : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

Si ottiene quindi . Poiché i vettori sono una base di , sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la funzione:

che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a , e l'isomorfismo è dato da:

Si ha quindi:

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:

con e visti come gruppi (notazione additiva), e dove con si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:

che è la formula di Grassmann.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

  • Uno dei due sottospazi o ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha e e la formula si riduce a una identità.
  • e sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
    • se le rette sono distinte contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
    • se coincidono e ancora si ha una identità.
  • è una retta per l'origine e un piano per l'origine:
    • se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
    • se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
  • e sono piani per l'origine:
    • se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
    • se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 52
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 46

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

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