Radice quadrata di una matrice

In matematica, per radice quadrata di una matrice quadrata $A$ si intende ogni matrice quadrata $X$ tale che il suo quadrato sia $X\cdot X=A$. In generale, una matrice non possiede un'unica radice quadrata.

Procedimento numerico

Un procedimento per ottenere da una matrice $A$ una sua radice quadrata è quello chiamato iterazione per la radice quadrata di Denman-Beavers. Sia data la matrice quadrata $A$ di dimensione $n$, e si voglia ottenere $A^{\frac {1}{2}}$. Il procedimento iterativo si serve di una sequenza di coppie di matrici $\langle Y_{i},Z_{i}\rangle$. Si definiscono:

$Y_{0}:=A{\mbox{ e }}Z_{0}:=I$

dove $I$ denota la matrice identità $n\times n$. Si procede per un opportuno numero di iterazioni definite da:

$Y_{k+1}:=(Y_{k}+Z_{k}^{-1})/2\qquad Z_{k+1}:=(Z_{k}+Y_{k}^{-1})/2$

Si trova che:

$\lim _{k\rightarrow +\infty }Y_{k}=A^{\frac {1}{2}}$

In alcuni casi un procedimento più efficiente per ottenere $A^{\frac {1}{2}}$ è il seguente: si costruisce la matrice $V$ le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice data $A$. Si trova quindi la matrice $V^{-1}$ inversa di $V$, e si calcola:

$D:=V^{-1}AV$

Questa è una matrice diagonale i cui elementi diagonali sono gli autovalori della $A$. Si rimpiazza ogni elemento diagonale della $D$ con la sua radice quadrata in modo da ottenere la matrice ${\sqrt {D}}$, e si ottiene la matrice richiesta come:

${\sqrt {A}}=V{\sqrt {D}}V^{-1}$

Con una odierna calcolatrice grafica questo procedimento risulta in genere più efficiente del precedente. Questo approccio è effettuabile solo per matrici diagonalizzabili. Per matrici non diagonalizzabili si può procedere con una decomposizione di Jordan combinata con uno sviluppo in serie simile a quello descritto per il logaritmo di una matrice.

Soluzione esplicita per matrici 2×2

Per il teorema di Hamilton-Cayley una generica matrice $A$ 2×2 soddisfa il polinomio caratteristico:

$x^{2}-\mathrm {tr} (A)x+\det(A)$

cioè:

$A^{2}-\mathrm {tr} (A)A+\det(A)I=0$

Indicando per brevità $\mathrm {tr} (A)$ con $t$ e $\det(A)$ con $d$ si ha:

$A^{2}-tA+dI=0$

Muovendo il termine intermedio al secondo membro e completando il quadrato si ottiene:

$A^{2}\pm 2{\sqrt {d}}A+dI=tA\pm 2{\sqrt {d}}A$

ovvero:

$\left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)^{2}=\left(t\pm 2{\sqrt {d}}\right)A$

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene (compare un radicale doppio):

$\pm \left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)={\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}{\sqrt {A}}$

da cui si ricava:

${\sqrt {A}}=\pm {\frac {A\pm {\sqrt {d}}I}{\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}}$

Si noti che il segno $\pm$ che compare prima della frazione è indipendente dagli altri due, che invece sono dipendenti tra loro. Il numero totale delle radici quadrate di una matrice quadrata $2\times 2$ è quindi $4$, e di queste quella con tutti e tre i segni positivi è la radice principale. In altre parole:

${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$

${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$

${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$

${\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{4}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}$

Bibliografia

• (FR) Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2, Springer, ISBN 3540353313
• (EN) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenney, and Alan J. Laub, "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy Archiviato il 3 settembre 2006 in Internet Archive.", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 22 (2001), no. 4, pp. 1112–1125.
• (EN) Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7
• (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521467136
• (EN) Rudin, Walter (1991), Functional analysis, International series in pure and applied mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070542368

Voci correlate

• Decomposizione di Cholesky
• Logaritmo di una matrice