Radice quadrata di una matrice

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In matematica, per radice quadrata di una matrice quadrata si intende ogni matrice quadrata tale che il suo quadrato sia . In generale, una matrice non possiede una unica radice quadrata.

Procedimento numerico[modifica | modifica wikitesto]

Un procedimento per ottenere da una matrice una sua radice quadrata è quello chiamato iterazione per la radice quadrata di Denman-Beavers. Sia data la matrice quadrata di dimensione , e si voglia ottenere . Il procedimento iterativo si serve di una sequenza di coppie di matrici . Si definiscono:

dove denota la matrice identità . Si procede per un opportuno numero di iterazioni definite da:

Si trova che:

In alcuni casi un procedimento più efficiente per ottenere è il seguente: si costruisce la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice data . Si trova quindi la matrice inversa di , e si calcola:

Questa è una matrice diagonale i cui elementi diagonali sono gli autovalori della . Si rimpiazza ogni elemento diagonale della con la sua radice quadrata in modo da ottenere la matrice , e si ottiene la matrice richiesta come:

Con una odierna calcolatrice grafica questo procedimento risulta in genere più efficiente del precedente. Questo approccio è effettuabile solo per matrici diagonalizzabili. Per matrici non diagonalizzabili si può procedere con una decomposizione di Jordan combinata con uno sviluppo in serie simile a quello descritto per il logaritmo di una matrice.

Soluzione esplicita per la radice di matrici 2×2[modifica | modifica wikitesto]

Per il teorema di Hamilton-Cayley una generica matrice 2×2 soddisfa il polinomio caratteristico:

cioè:

Indicando per brevità con e con si ha:

Muovendo il termine intermedio al secondo membro e aggiungendo/sottraendo ad ambo i membri due volte la radice del determinante moltiplicata per la matrice stessa si ottiene:

ovvero:

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene (compare un radicale doppio):

da cui si ricava:

Si noti che il segno che compare prima della frazione è indipendente dagli altri due, che invece sono dipendenti tra loro. Il numero totale delle radici quadrate di una matrice quadrata è quindi , e di queste quella con tutti e tre i segni positivi è la radice principale. In altre parole:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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