Copertura lineare

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.[1]

La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su un campo . Siano vettori di . Una copertura lineare di tali vettori è il sottospazio vettoriale:[2]

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ovvero il sottoinsieme di formato da tutte le possibili combinazioni lineari nel campo considerato.[3] Se il numero di vettori è uguale alla dimensione del sottospazio, l'insieme di generatori che essi formano è una base del sottospazio.[4]

Il sottospazio così generato è il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori , essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente questi vettori.

Chiusura[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione di un insieme di vettori di nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione , costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se e sono insiemi di vettori di tali che , allora:

In particolare, se e è ottenuto da aggiungendo un vettore , il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore è già contenuto in questo, cioè:

se e solo se:

Basi e dimensione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Base (algebra lineare).

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da vettori è al più , ed è proprio se e solo se questi sono indipendenti.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Nel piano[modifica | modifica wikitesto]

In , i vettori e sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive . I vettori e invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro : uno spazio di dimensione ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione , e perciò .

Nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

In , i vettori , , sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi , e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 36
  2. ^ S. Lang, Pag. 40
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 37
  4. ^ S. Lang, Pag. 44

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Rynne & Youngson (2001). Linear functional analysis, Springer.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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