Insieme di generatori

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra lineare, un sottoinsieme di un insieme dotato di una struttura algebrica è un insieme di generatori per se tutti gli elementi di possono essere ottenuti dagli elementi di tramite combinazioni di operazioni definite su .

Più in generale, se è un sottoinsieme di , l'insieme generato da è il più piccolo sottoinsieme di chiuso rispetto alle operazioni definite su contenente

Nei casi più frequenti, è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale.

Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita.

Gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo e un sottoinsieme di . Il sottogruppo generato da è il più piccolo sottogruppo di che contiene . Se è l'insieme vuoto, è dunque il sottogruppo banale . Se non è vuoto, allora consiste di tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di e dei loro inversi.

Gruppo ciclico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: gruppo ciclico.

Quando ha un solo elemento , allora si abbrevia . In questo caso è il sottogruppo ciclico formato da tutte le potenze di .

In generale, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.

Gruppo finitamente generato[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo è finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Elenchiamo alcuni esempi e proprietà dei gruppi finitamente generati.

  • Ogni gruppo finito è finitamente generato, poiché stesso è un insieme di generatori.
  • Gli interi formano un gruppo finitamente generato, ma non finito.
  • I numeri razionali formano un gruppo che non è finitamente generato.
  • Il prodotto diretto di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
  • Un quoziente di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.

Anelli[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello e un suo sottoinsieme. Il sottoanello generato da è il più piccolo sottoanello di che contiene gli elementi di . Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di e dei loro opposti.

Spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Copertura lineare.

Sia uno spazio vettoriale definito su un campo. Si dice sistema di generatori di un qualsiasi insieme di vettori siffatto:

.

Come si vede dalla definizione, si tratta di un insieme di vettori che permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio vettoriale V mediante combinazione lineare dei suoi elementi. Se ne possono immediatamente dedurre alcune proprietà:

  • Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è certamente un suo sottospazio.
  • Per ogni spazio vettoriale non vuoto, esistono infiniti sistemi generatori.
  • La base di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori; al contrario, un sistema di generatori non è necessariamente una base.
  • La minima cardinalità di un insieme di generatori per è la dimensione di .

Un'altra definizione relativa allo spazio vettoriale può essere data facendo uso dell'operatore Span (copertura lineare)[1]:

un insieme di vettori è un sistema di generatori per uno spazio vettoriale V se .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marco Abate, Geometria, Milano, McGraw-Hill, 1996, pp. 31, 76.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, New York, Springer-Verlag, 1980, ISBN 0-387-09212-9.
  • (EN) Arfken, G. "Generators." §4.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 261–267, 1985.
  • Marco Abate, Geometria, Milano, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica