Sottospazio vettoriale

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Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in . Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1 (evidenziato in blu).

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo, sia uno spazio vettoriale su e sia un sottoinsieme non vuoto di . L'insieme è un sottospazio vettoriale di se è uno spazio vettoriale su con le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare e se è chiuso rispetto ad esse.[1]

Si dimostra che il sottoinsieme non vuoto è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:[2]

  • Se e sono elementi di , allora anche la loro somma è un elemento di .
  • Se è un elemento di e è uno scalare in , allora il prodotto è un elemento di .

Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente: se e sono elementi di , e sono elementi di , allora è un elemento di .[3]

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale gli insiemi e sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Richiedere l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme nella definizione non è necessario (anche se alcuni autori lo esplicitano nella definizione) in quanto si dimostra che il vettore nullo appartiene a ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni il vettore:

appartiene a grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Tuttavia spesso verificare l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme è un modo semplice per verificare che il sottoinsieme sia non vuoto (che invece è una condizione necessaria per avere un sottospazio).

Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio è sottospazio di stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di siano ben definite anche quando sono ristrette a . A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per , valgono anche per , e quindi anche è uno spazio vettoriale.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali , le matrici , o i polinomi a coefficienti in .

  • Si consideri lo spazio vettoriale reale dotato di operazioni somma di vettori e prodotto di uno scalare per un vettore. L'insieme costituito dal solo elemento è un sottinsieme di . Si verifica che l'insieme contente solo è un sottospazio di poiché elemento del sottospazio, e il prodotto di uno scalare per dà come risultato sempre Più in generale il sottoinsieme di uno spazio vettoriale contenente il solo elemento neutro dello spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale detto sottospazio banale.
  • Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di .
  • Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in e in variabili sono un sottospazio vettoriale di .
  • Sia lo spazio delle matrici quadrate reali, con operazioni somma tra matrici e prodotto scalare per matrice. Allora l'insieme delle matrici diagonali è un sottospazio di siccome è non vuoto, la somma di due matrici diagonali è una matrice diagonale, e il prodotto di uno scalare per una matrice diagonale è una matrice diagonale.
  • Analogamente le matrici simmetriche e le matrici antisimmetriche formano due sottospazi dello spazio delle matrici quadrate .
  • Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi rispettivamente di e di .
  • I polinomi di gradi al più sono un sottospazio dello spazio dei polinomi a coefficienti in con variabile .
  • Se è un insieme ed un punto di , le funzioni da in che si annullano in (cioè le tali che ) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da in . Inoltre le funzioni da in che si annullano sia in che in un secondo punto costituiscono un sottospazio del precedente.
  • L'insieme delle funzioni continue da in fornisce un sottospazio delle funzioni da in , e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

Operazioni nei sottospazi[modifica | modifica wikitesto]

L'intersezione da di due sottospazi e di è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se oppure . Una composizione di due sottospazi e che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma , definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma dei vettori e . Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi , , e .

L'ortogonale di uno sottospazio vettoriale di uno spazio su cui sia definita una forma bilineare è l'insieme dei vettori tali che per ogni .

Quoziente di uno spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Spazio vettoriale quoziente.

Se è un sottospazio vettoriale di , si può costruire il gruppo quoziente e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza se e solo se . Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come . Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 34.
  2. ^ S. Lang, Pag. 38.
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 35.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Aigner, M. Combinatorial Theory. New York: Springer-Verlag, 1979.
  • (EN) Exton, H. q-Hypergeometric Functions and Applications. New York: Halstead Press, 1983.
  • (EN) Finch, S. R. "Lengyel's Constant." Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 316-321, 2003.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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