Sistema di equazioni lineari

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – "Sistema lineare" rimanda qui. Se stai cercando il concetto di sistema lineare in teoria dei sistemi, vedi Sistema dinamico lineare.

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema di equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari in incognite, che può essere scritto nel modo seguente:[1][2]

Il numero delle incognite è detto anche ordine del sistema.

Se termini noti sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo.

Una -upla di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le equazioni.[3]

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.[4]

Forma matriciale[modifica | modifica wikitesto]

In notazione indiciale il sistema si scrive:

Definendo i vettori dei coefficienti:

e il vettore degli termini noti:

il sistema è equivalente alla combinazione lineare:[1]

Definendo il vettore delle incognite:

ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:[5]

Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.

Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:

Ora se è la matrice dei coefficienti:

di cui in effetti sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:

Matrice completa[modifica | modifica wikitesto]

Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.

Le matrici e sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri sono le incognite, i numeri sono i coefficienti ed i numeri i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.

In generale, un sistema lineare può essere:

  • Determinato, quando ha una sola soluzione.
  • Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
  • Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
  • Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
  • Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
  • Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.

Se il campo di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di .

Il sistema omogeneo associato[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri l'operazione lineare:

Il nucleo di è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne . Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di è pari ad .

Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di . La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad .

Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione .[5] Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione .

Lo spazio delle soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Rouché-Capelli.

Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore è l'immagine del vettore ottenuta mediante l'applicazione lineare definita nel seguente modo:

L'immagine di è generata dai vettori dati dalle colonne di , e quindi è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di contiene , cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di è uguale allo spazio generato dalle colonne di . In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.

Se esiste una soluzione , ogni altra soluzione si scrive come , dove è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:[6]

Infatti:

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore , è quindi il sottospazio affine dato da:

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.[7] Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice è . Altrimenti se il campo è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di , avente come dimensione la nullità della matrice.

Strumenti per la risoluzione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni.

Esistono diversi metodi per risolvere un sistema di equazioni, che accomunano sia sistemi lineari che sistemi non lineari. Nello specifico dei sistemi lineari, tra i metodi risolutivi vi sono l'algoritmo di Gauss, la regola di Cramer ed il metodo di riduzione.

Se la matrice è quadrata e invertibile, inoltre, la soluzione è unica ed è uguale al prodotto:

dove è l'inversa di . Si deve tenere presente che il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale.

Il metodo di riduzione[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari, ed il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti ed il vettore delle soluzioni, ovvero:

allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione:

dove e sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.

Questo metodo è consigliato quando permette di trasformare il sistema dato in un altro più semplice, in cui almeno una delle equazioni ha perso la dipendenza da qualche incognita.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b S. Lang, Pag. 61
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 3
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 4
  4. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 6
  5. ^ a b S. Lang, Pag. 176
  6. ^ S. Lang, Pag. 177
  7. ^ S. Lang, Pag. 178

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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