Sistema dinamico lineare

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

Nell'analisi dei sistemi dinamici, un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare, e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.

Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione che, nel dominio del tempo, ad una sollecitazione fornisce una risposta :

I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:

Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso . Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato , ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione detto spazio delle fasi, secondo le equazioni matriciali:

dove è l'uscita o evoluzione. Lo stato è un vettore di dimensione , l'ingresso ha dimensione , mentre ha dimensione ; sono moltiplicati per le matrici matrice di dimensione , matrice di dimensione , matrice di dimensione e matrice matrice di dimensione .

Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:

con .

Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana di . A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di ) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile o instabile.

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario.

Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:

Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato.

Scomposizione del problema differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale , ovvero con una relazione del tipo:

Se il vettore iniziale è allineato con un autovettore destro di , allora:

con l'autovalore corrispondente. La soluzione è:

come si verifica per sostituzione.

Se è diagonalizzabile, ogni vettore in può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro e sinistro di :

dove è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale è la combinazione lineare:

In due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Dato il sistema in due dimensioni:

il polinomio caratteristico ha la forma:

con la traccia e il determinante di . Le radici sono gli autovalori di , ed hanno la forma:

Si nota che e , sicché se gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso e da un resistore in serie ad un condensatore di capacità . La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:

Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:

si ha sostituendo:

Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4.
  • (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9.
  • E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
  • A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]