Forma bilineare

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Nota disambigua.svg Disambiguazione – "Forma bilineare simmetrica" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Prodotto scalare.

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e spazi vettoriali e il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo è una mappa

che associa ad ogni coppia di elementi e lo scalare ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:[1]

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se e coincidono, la forma si dice bilineare su (o su ).[2]

Rappresentazione in coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Se ha dimensione n finita, ogni forma bilineare su può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base per , in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice è definita per componenti da:

L'azione della forma bilineare su due vettori e di si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

dove e sono le coordinate di e rispetto alla base.

Relazione con lo spazio duale[modifica | modifica wikitesto]

Ogni forma bilineare su definisce una coppia di mappe lineari da nel suo spazio duale . Si definiscano nel modo seguente:

In altre parole, è l'elemento di che manda in .

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

Ogni mappa lineare definisce analogamente una funzione bilineare:

Forme simmetriche e antisimmetriche[modifica | modifica wikitesto]

Una forma bilineare è detta simmetrica se:[3]

per ogni e in . È invece detta antisimmetrica o alternante se:

.

Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice associata (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe e definite sopra coincidono.

Se non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

per ogni . In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con per ogni diverso da zero, e .

Forma degenere[modifica | modifica wikitesto]

Una forma bilineare definita su uno spazio di dimensione finita è degenere se la matrice che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

  • La forma bilineare è degenere.
  • Esiste un vettore non nullo tale che per ogni .
  • Esiste un vettore non nullo tale che per ogni .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
  • Sia lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo , a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su è data da:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 182
  2. ^ S. Lang, Pag. 183
  3. ^ a b S. Lang, Pag. 185

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica