Operatore bilineare

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In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano , e tre spazi vettoriali sullo stesso campo ; un operatore bilineare è una funzione:

tale che per ogni la mappa:

è un operatore lineare da a , e per ogni la mappa:

è un operatore lineare da a . In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se e si ha per ogni , allora è simmetrico.

Nel caso in cui , si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo . È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo , un modulo destro e un modulo sinistro , possiamo definire un operatore bilineare , ove è un gruppo abeliano, tale che per ogni , , e per ogni , sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:

per ogni .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che ogni volta che or . Ciò si prova scrivendo il vettore nullo come e spostando lo scalare "al di fuori", davanti a , per linearità.

L'insieme di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da in .

Se sono di dimensione finita, allora lo è anche . Se , (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è (mentre lo spazio di forme lineari ha dimensione ). Per provarlo, si scelgano una base per e una base per ; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice data da , e viceversa (qui e denotano rispettivamente l'-esimo elemento della base e il -esimo elemento della base ).

Se è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare .
  • Se in uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare .
  • In generale, per uno spazio vettoriale su un campo , una forma bilineare su è equivalente a un operatore bilineare .
  • Se è uno spazio vettoriale, è il suo spazio duale e , allora l'operatore di applicazioni è un operatore bilineare da nel campo di base.
  • Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo . Se è un elemento di e è un elemento di , allora definisce un operatore bilineare .
  • Il prodotto vettoriale in è un operatore bilineare .
  • Siano un operatore bilineare e un operatore lineare; allora è un operatore bilineare su .
  • La mappa nulla, definita da per ogni è l'unica mappa da in che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se e è una mappa sia lineare che bilineare, allora (per linearità rispetto alla somma di ) e (per bilinearità).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
  • (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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