Coordinate di un vettore

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In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale su un campo . Sia l'insieme di elementi di una base ordinata di . Allora ogni vettore si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

Si definisce l'insieme delle coordinate di rispetto alla base data il vettore:[1]

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere , e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che è scritto rispetto alla base si usa spesso la notazione .

La mappa che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto a è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva,[2] la cui trasformazione inversa è data da:

Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di rispetto a .

Cambiamento di coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due basi diverse di . Siano i vettori che compongono la base .

Si denoti con la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori rispetto ai vettori della base :

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da a . Si ha allora:[3]

In particolare, la matrice è la matrice associata all'identità rispetto alle basi e .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 49
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 51
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 52

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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