Matrice di trasformazione

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di trasformazione, anche detta matrice associata ad una trasformazione o matrice rappresentativa dell'operatore rispetto alle sue basi, è la matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto ad una base per ciascuno degli spazi.

Fissata una base per il dominio e una per il codominio, ogni trasformazione lineare è descrivibile tramite una matrice nel modo seguente:

dove è il vettore colonna delle coordinate di un punto del dominio rispetto alla base del dominio e è il vettore colonna delle coordinate dell'immagine, mentre il prodotto è il prodotto righe per colonne.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due spazi vettoriali su un campo di dimensione finita, e una applicazione lineare. Siano:

due basi rispettivamente per e .

La matrice associata a nelle basi e è la matrice avente nella -esima colonna le coordinate del vettore rispetto alla base :[1]

dove la colonna è l'immagine dell'-esimo vettore della base di partenza scritta attraverso le coordinate rispetto alla base di arrivo .[2]

Gli elementi di sono quindi tali che:

e si ha:

In modo equivalente si può scrivere:

Dove le parentesi quadre indicano le coordinate rispetto alla base relativa.

La corrispondenza biunivoca definita fra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo fra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da in e lo spazio delle matrici :[3]

Tale isomorfismo dipende dalle basi scelte per entrambi gli spazi.

Composizione di applicazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Nella rappresentazione di applicazioni attraverso le matrici la composizione di funzioni si traduce nell'usuale prodotto fra matrici. Si considerino le applicazioni lineari:

Siano e le rispettive matrici rappresentative rispetto a tre basi dei relativi spazi. Si ha:

ovvero la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate a e a .[4]

Dette , basi rispettivamente di e si ha:

Endomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Endomorfismo rappresentato da una matrice. Il determinante della matrice è -1: questo implica che l'endomorfismo è invertibile e inverte l'orientazione del piano. L'angolo orientato infatti viene mandato nell'angolo con orientazione opposta.

In presenza di un endomorfismo è naturale scegliere la stessa base in partenza ed in arrivo. Sia tale base e sia la matrice associata a rispetto alla base . Si ha allora:[3]

In particolare, è una matrice quadrata .

Molte proprietà dell'endomorfismo possono essere lette attraverso la matrice rappresentativa:

  • è l'identità se e solo se è la matrice identica.
  • è la funzione costantemente nulla se e solo se è la matrice nulla.
  • è biunivoca se e solo se è invertibile, ovvero se ha determinante diverso da zero.
  • preserva l'orientazione dello spazio se , mentre la inverte se

Altre proprietà più complesse delle applicazioni lineari, come la diagonalizzabilità, possono essere più facilmente studiate attraverso la rappresentazione matriciale.

Matrici simili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Similitudine fra matrici.

Due matrici quadrate e sono simili quando esiste una matrice invertibile tale che:[5][6]

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.

Le matrici simili rivestono notevole importanza, dal momento che due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse.[7] Se e sono due basi dello spazio vettoriale , dato un endomorfismo su si ha:

La matrice è la matrice di cambiamento di base dalla base alla base .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel piano cartesiano, indicando con un punto generico, la trasformazione lineare viene rappresentata rispetto ad una qualsiasi base dalla matrice identità di ordine 2. Una tale trasformazione è conosciuta anche come funzione identità.
  • Nel piano cartesiano, sia la riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Le matrici associate a usando rispettivamente la base canonica e la base sono:
  • Nel piano la rotazione di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine è lineare e definita da e . In forma matriciale si esprime con:
Analogamente per una rotazione in senso orario attorno all'origine la funzione è definita da e ed in forma matriciale è:
  • La funzione dallo spazio dei polinomi di grado al più due in sé, che associa ad un polinomio la sua derivata è lineare. La matrice associata rispetto alla base è:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 106
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 87
  3. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 88
  4. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 90
  5. ^ S. Lang, Pag. 115
  6. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 94
  7. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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