Matrice di cambiamento di base

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia  V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K. Siano B e C due basi diverse di V, e siano \mathbf b_1,\mathbf b_2,\dots,\mathbf b_n i vettori che compongono la base B. Si definisce matrice di cambiamento di base dalla base B alla base C l'unica matrice  [M]_{C}^{B} le cui colonne sono le coordinate dei vettori \mathbf b_i rispetto ai vettori della base C:[1]

 [M]_{C}^{B} = \begin{bmatrix} \ [\mathbf b_1]_C & \cdots & [\mathbf b_n]_C \ \end{bmatrix}

Si ha allora:[2]

 [\mathbf v]_C = [M]_{C}^{B} [\mathbf v]_B \qquad [\mathbf v]_B = ([M]_{C}^{B})^{-1} [\mathbf v]_C

In particolare, la matrice  [M]_{C}^{B} è la matrice associata all'identità rispetto alle basi B e C.

Se  K=\R è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

Rappresentazione grafica nel piano cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

Fig.1.
Il vettore u ha coordinate:
(\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \end{smallmatrix}) nel piano \scriptstyle(x,y), (\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \scriptstyle\end{smallmatrix}) rispetto alla base \scriptstyle B e (\begin{smallmatrix} -7 \\ 5 \end{smallmatrix}) rispetto alla base \scriptstyle C.

Rifacendoci alla fig.1 supponiamo di avere nel piano cartesiano il vettore u di coordinate:

 u = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} .

Siano poi (v_1, v_2) e (w_1, w_2) due coppie di vettori che nello spazio euclideo  \mathbb{R}^2 individuano rispettivamente la base B e la base C date da:

B = \left( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right)
C = \left( w_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right)

La coppia (v_1,v_2) può rappresentare un qualunque vettore del piano cartesiano (e quindi ne rappresenta una base) trattandosi di vettori non paralleli e pertanto indipendenti; altrettanto vale per la coppia (w_1,w_2).

Si verifica facilmente che si può ottenere il vettore u come combinazione di vettori della base B e della base C mediante le seguenti equazioni:

u = 3v_1+v_2             (1)
u = -7w_1+5w_2     (2)

Pertanto, le coordinate del vettore u rispetto alle basi B e C sono date da:

 [u]_B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}
 [u]_C = \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix}

Graficamente, in base B il vettore u è dato dalla somma dei vettori v_1' e v_2': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di v_1 e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore u e parallela a v_2. Si ottengono così il vettore v_1' con modulo pari a tre volte quello di v_1 e il vettore v_2' con modulo pari a v_2 conformemente all'equazione (1) che può essere riscritta come:

u = 3v_1+v_2 = v_1' + v_2'
v_1' = 3v_1
v_2' = v_2

Analogamente, in base C il vettore u è dato dalla somma dei vettori w_1' e w_2': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di w_1 e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore u e parallela a w_2. Si ottengono così il vettore w_1', nella fattispecie opposto in verso a w_1, con modulo pari a sette volte quest'ultimo e il vettore w_2' con modulo pari a cinque volte w_2 conformemente all'equazione (2) che può essere riscritta come:

u = -7w_1+5w_2 = w_1' + w_2'
w_1' = -7w_1
w_2' = 5w_2
Fig.2.
Al vettore [v_1]_B =  (\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}), primo vettore della base B, corrisponde il vettore [v_1]_C =  (\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}) che si identifica con la \scriptstyle 1^a colonna della matrice \scriptstyle [M]_C^B.
Al vettore [v_2]_B =  (\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}), secondo vettore della base B, corrisponde il vettore [v_2]_C =  (\begin{smallmatrix} -4 \\ 2 \end{smallmatrix}) che si identifica con la \scriptstyle 2^a colonna della matrice \scriptstyle [M]_C^B.
Fig.3.
Al vettore [w_1]_C =  (\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}), primo vettore della base C, corrisponde il vettore [w_1]_B =  (\begin{smallmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{smallmatrix}) che si identifica con la \scriptstyle 1^a colonna della matrice \scriptstyle [M]_B^C.
Al vettore [w_2]_C =  (\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}), secondo vettore della base C, corrisponde il vettore [w_2]_B =  (\begin{smallmatrix} 2 \\ -\frac{1}{2} \end{smallmatrix}) che si identifica con la \scriptstyle 2^a colonna della matrice \scriptstyle [M]_B^C.

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base B a quelle in base C è data da:

 [M]_{C}^{B} = \begin{pmatrix}
-1 & -4 \\
1 & 2
\end{pmatrix}

Vale, a riprova, l'identità  [u]_C = [M]_C^B [u]_B come di seguito riportato:


: \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}

La fig.2 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base C al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base B conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base C a quelle in base B è data dalla sua inversa:

 [M]_{B}^{C} = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}

Vale, a riprova, l'identità  [u]_B = [M]_B^C [u]_C come di seguito riportato:


: \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 \\ 5 \end{pmatrix}

La fig.3 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base B al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base C conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

La matrice di cambiamento di base permette di codificare la relazione fra basi diverse attraverso la composizione di funzioni. Siano  B_1,  B_2 e  B_3 basi per  V e sia  M_{i,j} la matrice di cambiamento di base da  B_i a  B_j . Si ha:[3]

 M_{1,3} = M_{2,3} M_{1,2}

Segue che se  M è la matrice di cambiamento di base da  B in B' e M' è la matrice di cambiamento di base da  B' in B allora vale la relazione:[4]

 MM' = I

In particolare, la matrice  M è invertibile e M' è la sua inversa.

Cambio di matrici associate a endomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Sia  T:V\to V un endomorfismo di uno spazio vettoriale  V. Siano  B e  B' due basi per  V e  M la matrice di cambiamento di base da  B in  B' . Sia [T]_B la matrice di trasformazione di  T rispetto alla base  B e [T]_{B'} la matrice associata a B' . Vale allora la relazione:

 [T]_{B'}= M^{-1} [T]_{B} M

In modo equivalente, due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.[5]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel piano cartesiano, sia  B = ((1, 0), (0,1)) la base canonica e  B' = ((0, 1), (1, 0)) ottenuta permutando  B. La matrice di cambiamento di base da  B in  B' è:
    
   \begin{bmatrix}
      0 & 1 \\
      1 & 0 \\
   \end{bmatrix}
  • Nello spazio euclideo  \mathbb{R}^3 , la matrice di cambiamento fra le basi:
    B = \left( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)
     B' = \left( w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)
    viene trovata risolvendo il sistema di equazioni lineari:
    v_i = M_{1i} w_1 + M_{2i} w_2 + M_{3i} w_3
    con 9 equazioni (tre per ogni i=1,2,3 ) e 9 incognite  M_{ji} . Il risultato è la matrice:
    
M= \begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & 1 & 1 \\
\frac{1}{2} & -1 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 2 & 1
\end{pmatrix}
    La matrice  M può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore:
     v = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = 2v_1  - v_2 + 3v_3
    ha coordinate rispetto a  B :
     [v]_B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
    Le sue coordinate rispetto a  B' sono quindi calcolate nel modo seguente:
     [v]_{B'} =
\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & 1 & 1 \\
\frac{1}{2} & -1 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 52
  2. ^ S. Lang, Pag. 111
  3. ^ S. Lang, Pag. 113
  4. ^ S. Lang, Pag. 114
  5. ^ S. Lang, Pag. 115

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
  • Roggero, Cambiamenti di base.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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