Matrice di cambiamento di base

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo . Siano e due basi diverse di , e siano i vettori che compongono la base . Si definisce matrice di cambiamento di base dalla base alla base l'unica matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori rispetto ai vettori della base :[1]

Si ha allora:[2]

In particolare, la matrice è la matrice associata all'identità rispetto alle basi e .

Se è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

Rappresentazione grafica nel piano cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

Fig.1.
Il vettore ha coordinate:
nel piano , rispetto alla base e rispetto alla base .
Fig.2.
Al vettore , primo vettore della base , corrisponde il vettore che si identifica con la colonna della matrice .
Al vettore , secondo vettore della base , corrisponde il vettore che si identifica con la colonna della matrice .
Fig.3.
Al vettore , primo vettore della base , corrisponde il vettore che si identifica con la colonna della matrice .
Al vettore , secondo vettore della base , corrisponde il vettore che si identifica con la colonna della matrice .

Rifacendoci alla fig.1 supponiamo di avere nel piano cartesiano il vettore di coordinate:

.

Siano poi e due coppie di vettori che nello spazio euclideo individuano rispettivamente la base e la base date da:

La coppia può rappresentare un qualunque vettore del piano cartesiano (e quindi ne rappresenta una base) trattandosi di vettori non paralleli e pertanto indipendenti; altrettanto vale per la coppia .

Si verifica facilmente che si può ottenere il vettore come combinazione di vettori della base e della base mediante le seguenti equazioni:

             
     

Pertanto, le coordinate del vettore rispetto alle basi e sono date da:

Graficamente, in base il vettore è dato dalla somma dei vettori ' e ': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore e parallela a . Si ottengono così il vettore ' con modulo pari a tre volte quello di e il vettore ' con modulo pari a conformemente all'equazione che può essere riscritta come:

''
'
'

Analogamente, in base il vettore è dato dalla somma dei vettori ' e ': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore e parallela a . Si ottengono così il vettore ', nella fattispecie opposto in verso a , con modulo pari a sette volte quest'ultimo e il vettore ' con modulo pari a cinque volte conformemente all'equazione che può essere riscritta come:

''
'
'

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base a quelle in base è data da:



Vale, a riprova, l'identità come di seguito riportato:


:

La fig.2 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base a quelle in base è data dalla sua inversa:



Vale, a riprova, l'identità come di seguito riportato:


:

La fig.3 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

La matrice di cambiamento di base permette di codificare la relazione fra basi diverse attraverso la composizione di funzioni. Siano , e basi per e sia la matrice di cambiamento di base da a . Si ha:[3]

Segue che se è la matrice di cambiamento di base da in e è la matrice di cambiamento di base da in allora vale la relazione:[4]

In particolare, la matrice è invertibile e M' è la sua inversa.

Cambio di matrici associate a endomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Sia un endomorfismo di uno spazio vettoriale . Siano e due basi per e la matrice di cambiamento di base da in . Sia la matrice di trasformazione di rispetto alla base e la matrice associata a . Vale allora la relazione:

In modo equivalente, due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.[5]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel piano cartesiano, sia la base canonica e ottenuta permutando . La matrice di cambiamento di base da in è:
  • Nello spazio euclideo , la matrice di cambiamento fra le basi:
    viene trovata risolvendo il sistema di equazioni lineari:
    con 9 equazioni (tre per ogni ) e 9 incognite . Il risultato è la matrice:
    La matrice può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore:
    ha coordinate rispetto a :
    Le sue coordinate rispetto a sono quindi calcolate nel modo seguente:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 52
  2. ^ S. Lang, Pag. 111
  3. ^ S. Lang, Pag. 113
  4. ^ S. Lang, Pag. 114
  5. ^ S. Lang, Pag. 115

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
  • Roggero, Cambiamenti di base.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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