Matrice antisimmetrica
In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata la cui trasposta è anche la sua opposta, ossia:
In termini dei suoi elementi , per ogni e vale:
Per esempio, la matrice:
è antisimmetrica.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Diagonale principale
[modifica | modifica wikitesto]Se le entrate della matrice appartengono a un campo con caratteristica diversa da 2, tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione . In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.
Determinante
[modifica | modifica wikitesto]Se è una matrice antisimmetrica di ordine il suo determinante soddisfa:
In particolare, se è dispari il determinante è zero. Se è pari, invece, il determinante di è il quadrato di un polinomio (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di :
Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale sono numeri immaginari puri, poiché se è un autovalore associato all'autovettore , cosicché , allora
da cui deduciamo che , in altre parole è immaginario puro, diciamo con . Ora, ad ogni tale autovalore corrisponde l'autovalore coniugato , con la stessa molteplicità, poiché se , allora . Pertanto , essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è il prodotto dei numeri reali positivi .
Matrici simmetriche e antisimmetriche
[modifica | modifica wikitesto]Per ogni matrice quadrata , la matrice è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice è una matrice simmetrica.
È possibile (se ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere come:
ossia come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di in questo caso è:
Teoria spettrale
[modifica | modifica wikitesto]Se una matrice antisimmetrica ha un autovalore , allora ha anche un autovalore . Ossia, se:
allora , quindi:
In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie , eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.
Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma , con reale.
Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale (con ), ovvero in modo che sia di una delle due forme:
con autovalori (più un autovalore se è dispari).
Forme alternanti
[modifica | modifica wikitesto]Una forma alternante (o antisimmetrica) su uno spazio vettoriale sopra un campo (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare tale che:
Ogni forma alternante viene rappresentata da una matrice antisimmetrica su una base di , , e viceversa.
Rotazioni infinitesimali
[modifica | modifica wikitesto]Le matrici antisimmetriche di ordine con elementi in un campo sono uno spazio vettoriale su di dimensione , che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da "rotazioni infinitesimali".
Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie del gruppo di Lie . La parentesi di Lie su di esso è il commutatore , che è antisimmetrico:
Inoltre, la matrice esponenziale di una matrice antisimmetrica è una matrice ortogonale:
Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di , il gruppo ortogonale speciale , e ogni rotazione ha determinante . In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante ) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Glossario sulle matrici
- Matrice simmetrica
- Matrice hermitiana
- Matrice antihermitiana
- Matrice normale
- Matrice trasposta
- Matrice simplettica
- Quoziente di Rayleigh
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice antisimmetrica, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Matrice antisimmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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