Matrice antisimmetrica

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In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata la cui trasposta è anche la sua opposta, ovvero:

In termini dei suoi elementi , per ogni e vale:

Per esempio, la matrice:

è antisimmetrica.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Diagonale principale[modifica | modifica wikitesto]

Tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione . In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.

Determinante[modifica | modifica wikitesto]

Se è una matrice antisimmetrica di ordine n, il suo determinante soddisfa:

In particolare, se n è dispari il determinante è zero. Se n è pari, invece, il determinante di è il quadrato di un polinomio (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di :

Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale sono numeri immaginari puri, e a ogni autovalore corrisponde l'autovalore coniugato, con la stessa molteplicità. Pertanto , essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è un prodotto di numeri reali positivi.

Matrici simmetriche e antisimmetriche[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni matrice quadrata , la matrice è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice è una matrice simmetrica.

È possibile (se ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere come:

ovvero come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di in questo caso è:

Teoria spettrale[modifica | modifica wikitesto]

Se una matrice antisimmetrica ha un autovalore allora ha anche un autovalore . Ovvero, se:

allora , quindi:

In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie , eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.

Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma , con reale.

Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale (con ), ovvero in modo che sia di una delle due forme:

con autovalori (più un autovalore se n è dispari).

Forme alternanti[modifica | modifica wikitesto]

Una forma alternante (o antisimmetrica) su uno spazio vettoriale sopra un campo (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare tale che:

Ogni forma alternante viene rappresentata da una matrice antisimmetrica su una base di , , e viceversa.

Rotazioni infinitesimali[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici antisimmetriche di ordine n con elementi in un campo sono uno spazio vettoriale su di dimensione n(n − 1)/2, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da rotazioni infinitesimali.

Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie del gruppo di Lie . La parentesi di Lie su di esso è il commutatore , che è antisimmetrico:

Inoltre, la matrice esponenziale di una matrice antisimmetrica è una matrice ortogonale:

Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di , il gruppo ortogonale speciale , e ogni rotazione ha determinante . In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante ) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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