Quoziente di Rayleigh

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In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra lineare e dell'analisi funzionale, per una data matrice hermitiana e un vettore non nullo , il quoziente di Rayleigh è il numero reale:

dove indica il vettore trasposto coniugato di . Anche se definito tramite quantità complesse, il quoziente di Rayleigh è sempre reale, essendo una forma hermitiana ed essendo , dove indica la norma euclidea. Come verifica, è sufficiente porre e osservare che, essendo , si ha:

ma ciò implica che .

Si può dimostrare che il quoziente di Rayleigh assume il valore minimo , che è il più piccolo autovalore di , quando è il corrispondente autovettore . Analogamente, si ha e .

L'immagine del quoziente di Rayleigh è lo spettro di , e il numero è il raggio spettrale.

Matrice delle covarianze[modifica | modifica wikitesto]

Un caso di particolare importanza si verifica quando la matrice è la matrice delle covarianze. Un tale matrice può essere rappresentata dal prodotto , dove è una matrice di dati empirici e la sua trasposta. Essendo simmetrica, possiede autovalori non negativi e autovettori ortogonali (più precisamente, ortonormalizzabili). Infatti:

ovvero gli autovalori non sono negativi. Inoltre:

ovvero gli autovettori sono ortogonali (ortonormalizzabili nel caso di autovettori differenti/molteplici).

Per mostrare che il quoziente di Rayleigh è massimizzato dall'autovettore relativo al più grande autovalore (raggio spettrale), si consideri la decomposizione di un generico vettore nella base degli autovettori :

dove:

è la coordinata di proiettata ortogonalmente su . Quindi si ha:

che per la mutua perpendicolarità degli autovettori diventa:

ovvero il quoziente di Rayleigh è la somma dei coseni al quadrato degli angoli formati tra e gli autovettori , pesata per i rispettivi autovalori.

Se un vettore massimizza , allora anche ogni scalare non nullo massimizza e pertanto il problema può essere ridotto al metodo di Lagrange per massimizzare , a condizione che:

Formulazione tramite moltiplicatori di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Questo risultato può essere ricavato anche utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il problema consiste nel trovare i punti critici della funzione:

soggetta al vincolo . Si tratta cioè di trovare i punti critici di:

dove è un moltiplicatore di Lagrange. Il punto stazionario di si verifica quando:

e:

Quindi, gli autovettori di sono i punti critici del quoziente di Rayleigh e i rispettivi autovalori sono i valori stazionari di .

Utilizzo nella teoria di Sturm-Liouville[modifica | modifica wikitesto]

La teoria di Sturm-Liouville studia l'azione dell'operatore lineare:

sullo spazio prehilbertiano definito da:

composto da funzioni che soddisfano alcune specifiche condizioni al contorno in e . In tal caso il quoziente di Rayleigh è:

Talvolta è presentato in una forma equivalente, ottenuta separando l'integrale al numeratore e utilizzando l'integrazione per parti:

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Per una data coppia di matrici e per un dato vettore , il quoziente di Rayleigh generalizzato è definito come:

Il quoziente di Rayleigh generalizzato può essere ridotto al quoziente di Rayleigh attraverso la trasformazione , dove è la decomposizione di Cholesky della matrice hermitiana definita positiva.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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