Spazio prehilbertiano

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In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno.

Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto scalare sia completa.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio prehilbertiano è una coppia , dove è uno spazio vettoriale reale o complesso e è un prodotto interno.

Sia uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo (definito come o ) è una mappa:[1]

che associa ad ogni coppia di elementi e lo scalare .

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per e :

  • definita positiva:

In altre parole, per ogni fissato, le applicazioni

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che è inteso nel senso matematico e nel senso fisico.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 271

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

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