Trasformazione lineare

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In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Siano  V e  W due spazi vettoriali sullo stesso campo  K . Una funzione  f:V\to W è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:[1][2]

  • f(\mathbf x+ \mathbf y)=f(\mathbf x)+f(\mathbf y) \
  • f(a \mathbf x)=af(\mathbf x) \

per ogni coppia di vettori  \mathbf x e  \mathbf y in  V e per ogni scalare  a in  K . La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente,  f è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ovvero se:

f(a_1 \mathbf x_1+\cdots+a_m \mathbf x_m)=a_1 f(\mathbf x_1)+\cdots+a_m f(\mathbf x_m)

per ogni intero positivo m e ogni scelta dei vettori  \mathbf x_1,\ldots, \mathbf x_m e degli scalari  a_1,\ldots,a_m .

Se  f:V\to W è una applicazione lineare e  \mathbf 0_V e  \mathbf 0_W sono i vettori nulli di  V e  W rispettivamente, allora:[3]

\ f(\mathbf 0_V) = f(\mathbf 0_V + \mathbf 0_V) = f(\mathbf 0_V) + f(\mathbf 0_V)

e togliendo f(\mathbf 0_V) da ambo i membri si ottiene

\mathbf 0_W = f(\mathbf 0_V)

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare non banale manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.[4]

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.[5] Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.[6]

Esistenza ed unicità dell'applicazione lineare[modifica | modifica sorgente]

Siano  V e  W due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia  B_V = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n) una base di  V e siano  \mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_n vettori di  W . Allora esiste un'unica applicazione lineare da  V in  W tale che:[7]

f(\mathbf v_i) = \mathbf w_i \quad \forall i

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati \{{\mathbf v}_i \}, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base vi sono due casi:

  • I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
  • I vettori di cui si conosce l'immagine non sono linearmente indipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:
 \mathbf v_j = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

 f(\mathbf v_j) = \sum_{i=1}^n a_i f(\mathbf v_i)

Matrice associata[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Matrice di trasformazione.

Siano  V e  W due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi  B_V e  B_W per  V e  W , ogni trasformazione lineare da  V a W è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

 B_V = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n)
 B_W = (\mathbf w_1,\ldots, \mathbf w_m)

Ogni vettore \mathbf v in  V è univocamente determinato dalle sue coordinate c_1, \ldots, c_n, definite in modo che:

\mathbf v=c_1 \mathbf v_1+\cdots+c_n \mathbf v_n

Se  f:V\to W è una trasformazione lineare si ha:

f(\mathbf v) = f(c_1 \mathbf v_1+\cdots+c_n \mathbf v_n)=c_1 f(\mathbf v_1)+\cdots+c_n f(\mathbf v_n)

Quindi la funzione  f è determinata dai vettori f(\mathbf v_1),\ldots,f(\mathbf v_n). Ciascuno di questi è scrivibile come:

f(\mathbf v_j)=a_{1j} \mathbf w_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf w_m

La funzione  f è dunque interamente determinata dai valori di a_{i,j}, che formano la matrice associata a  f nelle basi  B_V e  B_W .[8]

La matrice associata  A è di tipo  m\times n , e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine  f(\mathbf v) di ogni vettore di  V grazie alla relazione seguente:

 A [\mathbf v]_{B_V} = [\mathbf w]_{B_W}

dove  [\mathbf v]_{B_V} e  [\mathbf w]_{B_W} sono le coordinate di \mathbf v e \mathbf w nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettoriale[modifica | modifica sorgente]

L'insieme  \textrm{Hom}(V,W) delle applicazioni lineari da  V in  W è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale formato da tutte le funzioni da  V in  W , infatti:[9]

  • La composizione di trasformazioni lineari è anch'essa una trasformazione lineare. Se f:V\to W e  g:W\to Z sono applicazioni lineari, allora lo è anche g\circ f: V \to Z
  • Se  f:V\to W e  g:V\to W sono lineari, allora lo è la loro somma  f+g , definita dalla relazione:
(f+g)(\mathbf v) = f(\mathbf v)+g(\mathbf v)
  • Se  f:V\to W è lineare e  a è un elemento del campo  K , allora la mappa  af , definita da  (af)(\mathbf v) = a(f(\mathbf v)) , è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di composizione, somma e prodotto per scalare di mappe lineari corrispondono rispettivamente a moltiplicazione di matrici, somma di matrici e moltiplicazione di matrici per scalare.

Le basi definiscono quindi un isomorfismo  \textrm{Hom}(V,W) \to M(n,m) tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici  n\times m , dove  m e  n sono le dimensioni rispettivamente di  V e  W .

Nucleo e immagine[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della dimensione.

Se  f:V\to W è lineare, il nucleo di f è l'insieme:[10]

\ker(f)=\{\,\mathbf x\in V:f(\mathbf x)=0\,\}

mentre l'immagine di  f è l'insieme:[11]

\operatorname{Im}(f)=\{\,f(\mathbf x)\in W: \mathbf x\in V\,\}

L'insieme \ker(f) è un sottospazio di V , mentre \operatorname{Im}(f) è un sottospazio di  W. Se V e W hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:[12]

  \dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( V )

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismi[modifica | modifica sorgente]

Una trasformazione lineare  f:V\to V è un endomorfismo di  V. L'insieme di tutti gli endomorfismi Endo( V ) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo  K : in particolare formano un anello e un spazio vettoriale su  K . L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di  V .

Un endomorfismo biiettivo di  V viene chiamato automorfismo di  V . La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di  V forma un gruppo, il gruppo generale lineare di  V , chiamato \mathrm{Aut}( V ) o \mathrm{GL}( V ).

Se la dimensione di  V è finita basterà che f sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

 \textrm{Endo}(V)\to M(n)

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate  n\times n descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di  V è isomorfo al gruppo lineare generale \mathrm{GL}( n,K ) di tutte le matrici  n\times n invertibili a valori in  K.

Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Pull-back.

Siano A, B e C insiemi e siano F(A,C) e F(B,C) le famiglie di funzioni da A in C e da B in C rispettivamente. Ogni \phi : A \to B determina univocamente una corrispondenza \phi^* : F(B,C) \to F(A,C) chiamata pull-back tramite \phi, che manda F in  F \circ \phi.

Se nello specifico si considerano A=V e B=W due spazi vettoriali su un campo K=C e anziché prendere interamente F(V,K) e F(W,K) si considerano gli spazi duali V^* e W^* si ha che ad ogni trasformazione lineare \phi : V \to W si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite \phi, ovvero la funzione \phi^* : W^*\to V^* che prende il nome di trasposta di \phi.

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in V^* e W^* che \phi^* è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per V e W e le rispettive duali in V^* e W^*, la matrice di trasformazione associata a \phi^* è la trasposta di quella di \phi.

Segue dalla definizione che un funzionale w^* \in W^* viene mandato in zero se e solo se l'immagine di \phi è contenuta nel nucleo di w^* cioè, indicando con U^\perp il sottospazio dei funzionali che annullano U \subset W, si ha \ker \phi = (\Im \phi)^\perp.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • La moltiplicazione  f(v) = av , in qualsiasi spazio vettoriale su  K , per una costante fissata  a \in K.
  • Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
  • Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
  • La proiezione di uno spazio vettoriale V decomposto in somma diretta:
     V = U\oplus W
    su uno dei due sottospazi U o W.
  • Una matrice  A di tipo  m\times n con valori reali definisce una trasformazione lineare:
     L_A:\R^n\to\R^m \qquad L_A(v) = Av
    dove  Av è il prodotto di  A e v . Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
  • L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale \R.
  • La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di \R nello spazio di tutte le funzioni.
  • Lo spazio \C dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione
     f:\mathbb C\to \mathbb C \qquad  f(z) = \bar z
    è una mappa \R-lineare ma non \C-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 82
  2. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 67
  3. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 68
  4. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 80
  5. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 86
  6. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 96
  7. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 69
  8. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 84
  9. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 85
  10. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 90
  11. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 91
  12. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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