Linearità (matematica)

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In matematica, la linearità è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta.

Ad esempio, la legge correla linearmente e : se raddoppia, anche raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

Relazione lineare tra vettori[modifica | modifica wikitesto]

In algebra, n vettori appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo sono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

dove non sono tutti nulli.[1] Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore può essere scritto nel modo seguente:

allora è una combinazione lineare dei vettori . In particolare, lo spazio delle combinazioni lineari dei vettori prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore è combinazione lineare di se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti.

Applicazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Un'applicazione definita da un -spazio vettoriale a un -spazio è lineare se, per ogni coppia di elementi e appartenenti a su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari e per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali e di algebre.

Una funzione in variabili (dove i sono -spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è una forma bilineare.

Equazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Equazioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione lineare.

Un'equazione algebrica in n incognite si dice lineare se è della forma:

dove i coefficienti (costanti) non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita è lineare se esistono un vettore , dove è un campo, e un elemento per cui si può scrivere:

Il simbolo denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio .

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di . Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti , o nel campo reale se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

dove si sono definiti i parametri liberi .

Sistemi di equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni lineari.

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite , le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice di dimensione , il cui elemento rappresenta il coefficiente dell'i-esima incognita nella j-esima equazione. Se allora è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere:

che equivale a:

Un sistema del genere può essere impossibile se non ammette soluzioni, determinato se ammette una e una sola soluzione e indeterminato se ammette più di una soluzione. Se il campo in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di . Più precisamente:

in particolare, lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice con la risolubilità del sistema.

Equazioni differenziali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Un'equazione differenziale ordinaria è lineare se è della forma:

con qualche .

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

è lineare, cioè se è soluzione di e è soluzione di allora è soluzione di . In altri termini, vale la relazione:

Luoghi geometrici[modifica | modifica wikitesto]

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione:

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero:

rispetto alla coordinata y, e:

rispetto alla coordinata z.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Il vettore nullo è linearmente dipendente, poiché vale ad esempio la relazione .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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