Corpo (matematica)

In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con $+$ e $*$, che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione

Un corpo è un insieme $K$, non vuoto e non ridotto ad un unico elemento, dotato di due operazioni binarie interne $+$ e $*$ che soddisfa i seguenti assiomi:

$(K,+)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0$:

• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $a+b=b+a$
• $0+a=a+0=a$
• per ogni $a$ esiste un elemento $-a$ tale che $a+(-a)=0$

$(K^{*},*)$ è un gruppo con elemento neutro $1$:

• $a*(b*c)=(a*b)*c$
• $1*a=a*1=a$
• per ogni $a\neq 0$ esiste un elemento $a^{-1}$ tale che $a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

• $a*(b+c)=a*b+a*c$
• $(a+b)*c=a*c+b*c$

(le relazioni devono valere per ogni $a,b$ e $c$ in $K$)

Nella definizione, $K^{*}=K\setminus \{0\}$ quindi necessariamente $1\neq 0$.

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

Esempi

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme $\mathbb {H}$ dei quaternioni è un corpo, ma non è un campo, infatti il prodotto tra quaternioni non è commutativo.

Proprietà

Equazioni

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

$a*x=b$, $x*a=b,$

per ogni $a,b\in K$ con $a\neq 0.$

Bibliografia

• (EN) P.M. Cohn, Skew fields. Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 57, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-43217-0.

Voci correlate

• Anello (algebra)
• Campo (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) division ring, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Division Ring, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Corpo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.