Identità di Bézout

In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se $a$ e $b$ sono interi (entrambi non nulli) e il loro massimo comun divisore è $d$, allora esistono due interi $x$ e $y$ tali che

$ax+by=d.$

Tali coppie di numeri $(x,y)$ possono essere determinate utilizzando l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate (nel senso che esistono infinite coppie di numeri che soddisfano l'identità).

Per esempio, consideriamo i numeri $12$ e $42$: il massimo comune divisore è $6$, e possiamo scrivere

$(-3)\cdot 12+1\cdot 42=6,$

ma anche

$4\cdot 12+(-1)\cdot 42=6.$

In effetti, a partire da una soluzione $(x_{0},y_{0})$, si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

$a\left(x_{0}-k{\frac {b}{d}}\right)+b\left(y_{0}+k{\frac {a}{d}}\right)=d,\quad {\text{ per }}k\in \mathbb {Z} .$

L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare $ax\equiv d\mod b$ (dove $d$ è il massimo comun divisore di $a$ e $b$) ammette una soluzione $x$ modulo $b$.

L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro dominio ad ideali principali. Detto esplicitamente, se $R$ è un dominio ad ideali principali, $a$ e $b$ sono elementi di $R$, e $d$ è un massimo comune divisore di $a$ e $b$, allora esistono elementi $x$ e $y$ in $R$ tali che $ax+by=d$. Inoltre i massimi comun divisori di $a$ e $b$ sono tutti e soli i generatori dell'ideale $(a,b)$.

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783). Ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

Generalizzazioni

Più numeri

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati $n$ numeri $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})$, se $d$ è il loro massimo comun divisore, esiste una $n$-upla $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ tale che

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d.$

Polinomi

L'identità di Bézout si applica anche ai polinomi a coefficienti in un campo. Infatti, se $K$ è un campo, l'anello $K[x]$ è un dominio euclideo, e quindi anche un dominio ad ideali principali. Ad esempio, questa proprietà vale in $\mathbb {Q} [x]$ e in $\mathbb {R} [x]$.

Voci correlate

• Equazione diofantea
• Equazione diofantea lineare
• Equazione diofantea quadratica
• Algoritmo di Euclide
• Massimo comun divisore

Collegamenti esterni

• Bezout, identita di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Bézout's Identity, su MathWorld, Wolfram Research.
• Calcolatrice online per l'identità di Bézout.

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