Identità di Bézout

In matematica, e specialmente in teoria dei numeri, l' identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se $a$ e $b$ sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è $d$ , allora esistono due interi $x$ e $y$ tali che

ax+by=d.

Tali coppie di numeri $(x,y)$ possono essere determinate con l'algoritmo di Euclide esteso, ma non sono univocamente determinate.

Per esempio, il massimo comune divisore di $12$ e $42$ è $6$ , e possiamo scrivere

(-3)\cdot 12 + 1\cdot 42=6,

ma anche

4\cdot 12+(-1)\cdot 42=6.

In effetti a partire da una soluzione $(x_0,y_0)$ si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

a \cdot \left(x_0 - k \cdot \frac{b}{d}\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot \frac{a}{d}\right) = d \quad \text{ per } \quad k\in\Z.

L'identità di Bézout è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro anello ad ideali principali. Detto esplicitamente, se $R$ è un dominio ad ideali principali, $a$ e $b$ sono elementi di $R$ , e $d$ è un massimo comune divisore di $a$ e $b$ , allora esistono elementi $x$ e $y$ in $R$ tali che $ax+by=d$ .

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

Indice

1 Generalizzazioni
- 1.1 Più numeri
- 1.2 Polinomi
2 Voci correlate
3 Collegamenti esterni

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Più numeri[modifica | modifica wikitesto]

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati $n$ numeri $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)$ , se $d$ è il loro massimo comun divisore esiste una $n$ -upla $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tale che

a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d.

Polinomi[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se $K$ è un campo, l'anello $K[x]$ è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in $\Q[x]$ e in $\R[x]$ .