Identità di Bézout

In matematica, e specialmente in teoria dei numeri, l' identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se a e b sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è d, allora esistono due interi x e y tali che

ax + by = d .

Tali coppie di numeri (x, y) possono essere determinate con l'algoritmo di Euclide esteso, ma non sono univocamente determinate.

Per esempio, il massimo comune divisore di 12 e 42 è 6, e possiamo scrivere

(−3)·12 + 1·42 = 6 ,

ma anche

4·12 + (−1)·42 = 6 .

In effetti a partire da una coppia soluzione $\,(x_0,y_0)$ si ottiene l'insieme numerabile di soluzioni

$a \cdot \left(x_0 - k \cdot \frac{b}{d}\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot \frac{a}{d}\right) = d \quad per \quad k\in\mathbb{Z}$.

L'identità di Bézout è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro anello ad ideali principali. Detto esplicitamente, se R è un dominio ad ideali principali, a e b sono elementi di R, e d è un massimo comune divisore di a e b, allora esistono elementi x e y in R tali che ax + by = d.

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

Generalizzazioni

Più numeri

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati n numeri $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)$, se d è il loro massimo comun divisore esiste una n-upla $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tale che

$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d$

Polinomi

L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se K è un campo, l'anello K[x] è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in $\mathbb{Q}[x]$ e in $\mathbb{R}[x]$.

Collegamenti esterni

• Calcolatrice online per l'identità di Bézout.

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