Identità di Bézout

In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se $a$ e $b$ sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è $d$ , allora esistono due interi $x$ e $y$ tali che

ax+by=d.

Tali coppie di numeri $(x,y)$ possono essere determinate con l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate (cioè ne può esistere più d'una).

Per esempio, il massimo comune divisore di $12$ e $42$ è $6$ , e possiamo scrivere

(-3)\cdot 12+1\cdot 42=6,

ma anche

4\cdot 12+(-1)\cdot 42=6.

In effetti a partire da una soluzione $(x_{0},y_{0})$ si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

a\left(x_{0}-k{\frac {b}{d}}\right)+b\left(y_{0}+k{\frac {a}{d}}\right)=d,\quad {\text{ per }}k\in \mathbb {Z} .

L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare $ax\equiv d\mod b$ (dove $d$ è massimo comune divisore di $a$ e $b$ ) ammette una soluzione $x$ modulo $b$ .

L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro dominio ad ideali principali. Detto esplicitamente, se $R$ è un dominio ad ideali principali, $a$ e $b$ sono elementi di $R$ , e $d$ è un massimo comune divisore di $a$ e $b$ , allora esistono elementi $x$ e $y$ in $R$ tali che $ax+by=d$ . Inoltre i massimi comun divisori di $a$ e $b$ sono tutti e soli i generatori dell'ideale $(a,b)$ .

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Più numeri[modifica | modifica wikitesto]

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati $n$ numeri $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})$ , se $d$ è il loro massimo comun divisore esiste una $n$ -upla $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ tale che

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d.

Polinomi[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se $K$ è un campo, l'anello $K[x]$ è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in $\mathbb {Q} [x]$ e in $\mathbb {R} [x]$ .