Identità di Bézout
In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se e sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è , allora esistono due interi e tali che
Tali coppie di numeri possono essere determinate con l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate.
Per esempio, il massimo comune divisore di e è , e possiamo scrivere
ma anche
In effetti a partire da una soluzione si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo
L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare (dove è massimo comune divisore di e ) ammette una soluzione modulo .
L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro dominio ad ideali principali. Detto esplicitamente, se è un dominio ad ideali principali, e sono elementi di , e è un massimo comune divisore di e , allora esistono elementi e in tali che . Inoltre i massimi comun divisori di e sono tutti e soli i generatori dell'ideale .
L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.
Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]
Più numeri[modifica | modifica wikitesto]
Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati numeri , se è il loro massimo comun divisore esiste una -upla tale che
Polinomi[modifica | modifica wikitesto]
L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se è un campo, l'anello è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in e in .
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
- Equazione diofantea
- Equazione diofantea lineare
- Equazione diofantea quadratica
- Algoritmo di Euclide
- Massimo comun divisore
Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- Calcolatrice online per l'identità di Bézout.
Controllo di autorità | LCCN (EN) sh2007006114 |
---|