Gruppo di Galois

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In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Estensione[modifica | modifica sorgente]

Sia  E una estensione di un campo  F . Un F-automorfismo di  E è un automorfismo

\psi:E\to E

che fissa gli elementi di  F , cioè tale che

\psi(x) = x

per ogni  x in F . Gli F-automorfismi di  E formano un gruppo

 G = {\rm Gal}(E/F)

che è detto gruppo di Galois dell'estensione.[1]

Polinomi[modifica | modifica sorgente]

Se  p(x) è un polinomio separabile a coefficienti in un campo  F , il gruppo di Galois di  p è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento  E di  p su  F .

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Negli esempi seguenti, C, R, Q sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione  F(a) indica il più piccolo campo contenente F e  a .

Campi razionali, reali, complessi[modifica | modifica sorgente]

  • Gal(C/R) ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
  • Gal(R/Q) è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di R è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di Q e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di R). Da ciò segue che l'estensione R su Q non è di Galois.
  • Gal(C/Q) è un gruppo infinito.

Campi finiti[modifica | modifica sorgente]

Se F è un campo finito con caratteristica p>0, ovvero di ordine pn per qualche naturale n, lo si può vedere come estensione di Fp (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

  • Gal(F|Fp) = Cn=<f>

ovvero il gruppo ciclico di ordine n, con f endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di Fp pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè n (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento f è esattamente n, pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ In alcuni testi, questo gruppo viene detto di Galois solo se la corrispondente estensione di campi è di Galois.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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