Gruppo di Galois

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Estensione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una estensione di un campo . Un -automorfismo di è un automorfismo

che fissa gli elementi di , cioè tale che

per ogni in . Gli -automorfismi di formano un gruppo

Se è un'Estensione di Galois allora il gruppo degli -automorfismi di è detto gruppo di Galois[1] ed è indicato con

Polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Se è un polinomio separabile a coefficienti in un campo , il gruppo di Galois di è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento di su .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Negli esempi seguenti , , , sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione indica il più piccolo campo contenente e .

Campi razionali, reali, complessi[modifica | modifica wikitesto]

  • ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
  • è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di ). Da ciò segue che l'estensione su non è di Galois.
  • è un gruppo infinito.

Campi finiti[modifica | modifica wikitesto]

Se è un campo finito con caratteristica , ovvero di ordine per qualche naturale , lo si può vedere come estensione di (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

ovvero il gruppo ciclico di ordine , con endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento è esattamente , pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi[modifica | modifica wikitesto]

  • ha due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia con .
  • Sia , dove è una radice terza primitiva dell'unità. Il gruppo è isomorfo al gruppo delle permutazioni di tre elementi. Il campo è il campo di spezzamento del polinomio su .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ In alcuni testi, questo gruppo viene detto di Galois anche se la corrispondente estensione di campi non è di Galois.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica