Gruppo nilpotente

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In matematica, un gruppo nilpotente è un gruppo che ammette una serie centrale, ovvero una successione di sottogruppi normali

tale che ogni quoziente è contenuto nel centro di . Il minimo per cui ammette una serie centrale di lunghezza è detto indice (o classe) di nilpotenza di .

I gruppi nilpotenti formano una classe intermedia tra i gruppi abeliani e i gruppi risolubili; con i primi condividono il fatto di poter essere ricostruiti (almeno per la loro parte di torsione) dai sottogruppi di Sylow, mentre con i secondi la vicinanza ai gruppi abeliani mediante serie di sottogruppi.

I gruppi nilpotenti hanno un ruolo centrale nello studio dei gruppi di Lie; nella teoria delle algebre di Lie, un'analoga definizione porta al concetto di algebra di Lie nilpotente.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

A partire da un gruppo , possono essere definite due diverse catene di sottogruppi, una ascendente e una discendente.

La serie centrale ascendente è la successione dove ogni definito come (dove è il commutatore di ed ); equivalentemente, è tale che è il centro di .

La serie centrale discendente è la successione , dove è il sottogruppo generato dagli elementi , per ogni e ogni .

Un gruppo è nilpotente se la serie centrale ascendente arriva a (cioè se per qualche ), o equivalentemente se la serie centrale discendente arriva al sottogruppo banale (cioè se per qualche ); un'ulteriore condizione equivalente è l'esistenza di una serie centrale arbitraria, ovvero una successione di sottogruppi normali

in cui . Se questo avviene, la lunghezza della serie centrale ascendente e di quella discendente sono uguali, e questo numero è la minima lunghezza di una serie normale di : è detto indice (o classe) di nilpotenza di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i gruppi abeliani sono nilpotenti, in quanto ammettono la serie centrale , e di conseguenza hanno indice di nilpotenza 1; viceversa, ogni gruppo con indice di nilpotenza 1 è abeliano.

Tutti i p-gruppi finiti sono nilpotenti e, in particolare, un gruppo con elementi ha indice di nilpotenza al più ; questo segue dal fatto che ogni p-gruppo ha centro non banale. Questo non vale se il gruppo è infinito: ad esempio, data una successione di p-gruppi, in cui ha indice di nilpotenza , allora la somma diretta è un p-gruppo la cui serie centrale ascendente non termina.

Un esempio di gruppo infinito non abeliano ma nilpotente è il gruppo di Heisenberg .

Un gruppo il cui centro è banale non è mai nilpotente, in quanto la sua serie ascendente è stazionaria già a .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La proprietà di essere nilpotente si trasferisce ai sottogruppi e ai gruppi quoziente; se inoltre ha indice di nilpotenza , allora l'indice dei suoi sottogruppi e dei suoi quozienti è al più . Analogamente, se il quoziente è nilpotente di classe , allora è nilpotente di classe al più . Il prodotto diretto di una quantità finita di gruppi nilpotenti è ancora nilpotente, e la sua classe di nilpotenza è uguale al massimo delle classi dei fattori.

Poiché i quozienti sono contenuti nel centro di , ogni quoziente è abeliano, e quindi una serie centrale è, in particolare, una serie normale; questo implica che ogni gruppo nilpotente è risolubile. L'implicazione non può essere rovesciata: ad esempio il gruppo simmetrico è risolubile ma non nilpotente (in quanto il suo centro è banale).

Una delle proprietà più importanti dei gruppi nilpotenti è il loro legame con i loro sottogruppi di Sylow. Se infatti è un gruppo nilpotente finito, allora tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali, e stesso è il prodotto diretto dei sottogruppi di Sylow; dal momento che i p-gruppi sono nilpotenti, questo risultato classifica i gruppi nilpotenti finiti come i prodotti diretti di p-gruppi. Nel caso infinito, i sottogruppi di Sylow possono non generare l'intero gruppo (in quanto possono essere presenti elementi di ordine infinito), ma essi sono ancora normali nel gruppo, e il loro prodotto diretto è uguale al sottogruppo di torsione di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
  • J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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