Gruppo sporadico

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In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Questo teorema afferma infatti che, se è un gruppo semplice finito allora, è

I primi cinque gruppi sporadici furono scoperti da Emile Léonard Mathieu nel 1861 e nel 1873. I successivi furono scoperti tra il 1965 ed il 1975, generalmente prendono il nome dai loro scopritori.

Per via della loro struttura anomala, i gruppi sporadici sono oggetti matematici che presentano tuttora aspetti misteriosi e, presumibilmente ricchi di interessanti conseguenze. A tal proposito val la pena ricordare il problema del Monstrous Moonshine per il Mostro recentemente risolto da Richard Borcherds.

Lista ed ordini dei gruppi sporadici[modifica | modifica wikitesto]

I cinque gruppi di Mathieu:

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I quattro gruppi di Janko:

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I tre gruppi di Conway:

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Il gruppo di Higman-Sims:

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Il gruppo di McLaughlin:

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Il gruppo di Suzuki:

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Il gruppo di Held:

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Il gruppo di Lyons:

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Il gruppo di Rudvalis:

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Il gruppo di O'Nan:

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I tre gruppi di Fischer:

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Il gruppo di Harada-Norton:

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Il gruppo di Thompson:

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Il Baby Mostro:

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Il Mostro di Fischer-Griess:

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Relazioni tra i gruppi sporadici[modifica | modifica wikitesto]

Può essere interessante notare che, contrariamente a quanto il loro nome possa far supporre, i gruppi sporadici hanno diversi legami tra loro e con gli altri gruppi semplici finiti. Ad esempio può venire costruito a partire dall'automorfismo esterno eccezionale di e tutti i gruppi di Mathieu possono essere costruiti ricorsivamente come gruppi di automorfismi di sistemi di Steiner. è il quoziente modulo un centro di ordine del gruppo degli automorfismi del Reticolo di Leech (un reticolo intero -dimensionale di uno spazio euclideo di dimensione 24). Come stabilizzatori di certi sottoreticoli di dimensione e del Reticolo di Leech si possono trovare , , , , e come certi sottogruppi locali di , anche e . Inoltre il Reticolo di Leech può essere costruito a partire dal sistema di Steiner associato a . Esclusi i gruppi , , , , e (i cosiddetti Pariah), i restanti gruppi sporadici sono contenuti come sezioni nel Mostro e molti di questi compaiono come fattori di composizione nei sottogruppi locali del Mostro: ad esempio il Baby Mostro e compaiono come quozienti di centralizzanti di opportuni elementi di ordine del Mostro, similmente nei normalizzanti dei sottogruppi di ordine compaiono e e, per opportuni sottogruppi di ordine , e si possono trovare in modo analogo rispettivamente , e . Allo stesso modo, nelle sezioni di sottogruppi locali del Baby Mostro si possono inoltre trovare: e nei centralizzanti di elementi di ordine , nei normalizzanti di opportuni elementi di ordine e in quelli di ordine .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Aschbacher:Sporadic groupsCambridge University Press, Cambridge 1994
  • John Horton Conway: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
  • John Horton Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
  • Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 Memoirs Amer. Math. Soc. vol. 40 number 3, 1998
  • Robert L. Griess: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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