Gruppo diedrale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il gruppo diedrale di ordine è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ; si usano anche le notazioni e .

Gli elementi del gruppo diedrale[modifica | modifica wikitesto]

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto rotazioni possibili e assi di simmetria per un poligono di lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da elementi.

Una rotazione del pentagono di
Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria


Indicato con la rotazione di radianti in senso antiorario, e la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

  • : dopo rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
  • : due riflessioni consecutive si annullano;
  • : in particolare, il gruppo non è commutativo;
  • ogni simmetria si può ottenere come composizione di e di un adeguato numero di rotazioni ;
  • la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da ed ; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni e (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

oppure
;
  • è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici e , con che agisce su per inversione;

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • per , è un sottogruppo del gruppo simmetrico ;
  • dato un numero che divide , ha sottogruppi di tipo e un sottogruppo di tipo ;

Proprietà che dipendono dalla parità dei lati[modifica | modifica wikitesto]

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici e metà passano per il centro dei lati) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di :

  • il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se è dispari, mentre contiene anche l'elemento se è pari.
  • se è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

Gruppi diedrali piccoli[modifica | modifica wikitesto]

Il caso è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo .

Il caso (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a (gruppo di Klein).

e sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

Gruppi diedrali e radici dell'unità[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a lati. La moltiplicazione per corrisponde alla rotazione di , mentre l'operazione di coniugazione complessa corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine .

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Gruppo diedrale infinito[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione che è un multiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero per cui è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di , non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con ) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da oppure .

Gruppo diedrale generalizzato[modifica | modifica wikitesto]

Dato un gruppo commutativo , il gruppo diedrale generalizzato di , che si indica con , è il prodotto semidiretto di e di , con che agisce su per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

Poiché e , questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di isomorfo ad , mentre gli elementi del tipo corrispondono alle riflessioni.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica