Riflessione (geometria)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search
Riflessione nel piano lungo una retta verticale.

In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia π un iperpiano in uno spazio euclideo di dimensione n passante per l'origine. In altre parole, π è un sottospazio vettoriale di dimensione n − 1.

Una riflessione rispetto a π è la trasformazione lineare data da

dove a è un qualsiasi vettore ortogonale a π, e v·a è il prodotto scalare fra v ed a.

Sia p un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a p è la trasformazione lineare data da

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La matrice associata ad una riflessione rispetto ad una base ortonormale i cui primi n − 1 elementi sono contenuti nell'iperpiano è molto semplice: è una matrice diagonale aventi tutti i valori 1 sulla diagonale tranne l'ultimo, che è -1.
  • La composizione di due riflessioni lungo lo stesso iperpiano p è la funzione identità.
  • La composizione di due riflessioni del piano lungo rette distinte può essere una rotazione o una traslazione.
  • Ogni matrice associata ad una riflessione rispetto ad una qualsiasi base è una matrice ortogonale con determinante uguale a − 1.
  • Utilizzando la definizione di matrice di Householder, si possono ricavare molto facilmente le equazioni relative a questo tipo di trasformazione.

Geometria euclidea piana[modifica | modifica wikitesto]

Simmetria rispetto a un punto, o centrale

Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a una retta r (cui non appartengono) quando r è l'asse del segmento [AA']. Il punto A' è il simmetrico di A rispetto ad r e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A che non appartiene ad r il punto A' suo simmetrico, e ad ogni punto C in r associa il punto C stesso, è detta simmetria assiale di asse r nel piano considerato.

La simmetria assiale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione per indicare la simmetria assiale di asse r; il simmetrico di A si scrive quindi .

La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo inverso, cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)

Definizione di simmetria assiale[modifica | modifica wikitesto]

Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q in modo tale che il segmento PQ sia perpendicolare alla retta r e abbia come punto medio H, piede della perpendicolare condotta da P a r.

Simmetria assiale in geometria analitica[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione dell'asse di simmetria e il segmento di estremi e , la retta passante per P e Q è perpendicolare all'asse di simmetria (pertanto ) e lo interseca nel punto medio H di coordinate

Poiché H appartiene all'asse, vale la seguente equazione:

Il coefficiente angolare della retta passante per P e Q si può scrivere come

Pertanto,

Per determinare le coordinate del punto Q, simmetrico di P, si ricorre al sistema di equazioni

Da cui si ricava

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

  • Simmetria assiale rispetto alla retta , bisettrice del primo e del terzo quadrante

  • Simmetria assiale rispetto alla retta , bisettrice del secondo e del quarto quadrante

  • Simmetria assiale rispetto alla retta , parallela all'asse y

  • Simmetria assiale rispetto alla retta , parallela all'asse x

  • Simmetria assiale rispetto alla retta , asse delle ordinate

  • Simmetria assiale rispetto alla retta , asse delle ascisse

In geometria descrittiva[modifica | modifica wikitesto]

La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Controllo di autoritàGND (DE4447875-6
Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica