Omotetia

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In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci omos, "simile" e tìthemi, "metto") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine).

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Esempio grafico: omotetia di centro e di rapporto
Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da di tutti i punti secondo un fattore , lasciando invariate le rette passanti per che per questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da e passante per , in modo che la sua distanza da cambi secondo un fattore costante positivo. L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto .

Il punto è il centro, mentre è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari dilatazione, se , contrazione se . Se si ottiene ovviamente l'identità ovvero la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso.

L'omotetia è una particolare similitudine.

Coefficiente negativo[modifica | modifica wikitesto]

Si può estendere la definizione al caso in cui sia negativo: in tale ipotesi il punto viene spostato nel punto della semiretta opposta alla semiretta e avente come distanza da quella di moltiplicata per . Notiamo quindi che un'omotetia di fattore è la simmetria centrale di centro il punto o la rotazione di centro pari a un angolo piatto.

Mediante i vettori, l'omotetia di centro e di rapporto si definisce più correttamente come la trasformazione geometrica che porta ogni punto nell'unico punto soluzione dell'equazione vettoriale:

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che il corrispondente rapporto sia positivo o negativo. Però è sempre diretto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una omotetia, oltre a moltiplicare tutte le distanze per , moltiplica tutte le aree per , tutti i volumi per , etc.

Algebra lineare[modifica | modifica wikitesto]

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore , ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a .

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