Trasformazione affine

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La Francia e la sua immagine dopo una trasformazione affine. Le rette della griglia rimangono dritte e parallele tra loro, ma cambiano gli angoli e le lunghezze

In geometria, si definisce trasformazione affine dello spazio euclideo qualunque composizione di una trasformazione lineare con una traslazione; in simboli, la più generale trasformazione affine può essere scritta come

dove è una trasformazione lineare e è una traslazione; esplicitamente, l'azione di è data da

,

dove è la matrice quadrata che rappresenta e il vettore che determina la traslazione.

Le trasformazioni affini sono le trasformazioni più generali che preservano i sottospazi affini. Tra queste, giocano un ruolo importante le affinità: queste sono le trasformazioni affini di uno spazio in se stesso, che sono anche una corrispondenza biunivoca.

Esempi di affinità sono rotazioni, omotetie, traslazioni, rototraslazioni, riflessioni. Le affinità non sono necessariamente isometrie, non preservano cioè angoli e distanze, mentre mantengono sempre il parallelismo tra le rette.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nello spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Una trasformazione affine

fra due spazi euclidei è una trasformazione del tipo

dove è una matrice , è un vettore di fissato e si fa uso del prodotto fra una matrice ed un vettore.

In uno spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Una trasformazione affine fra due spazi vettoriali e più generali è la composizione di una trasformazione lineare

con una traslazione

determinata da un vettore fissato di .

In uno spazio affine[modifica | modifica wikitesto]

Una trasformazione affine fra due spazi affini e è una funzione

per cui esiste una funzione lineare

fra i due spazi vettoriali associati a ed tale che

Legami fra le definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Ciascuna definizione generalizza la precedente: l'ultima definizione è quindi la più generale e non dipende da un fissato riferimento affine. D'altra parte, fissati due riferimenti per gli spazi affini e , una trasformazione affine è comunque esprimibile come

come nella prima definizione.

Affinità[modifica | modifica wikitesto]

Una affinità è una trasformazione affine biiettiva in cui dominio e codominio coincidono.

Alcuni autori, nella definizione di trasformazione affine, richiedono che questa sia iniettiva.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Trasformazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Nella notazione

Il vettore corrisponde all'immagine dell'origine

Una trasformazione lineare è una trasformazione affine che non sposta l'origine: in altre parole, una trasformazione affine con .

Tra le trasformazioni lineari vi sono molte affinità, quali le rotazioni intorno all'origine e le riflessioni rispetto a sottospazi che passano per l'origine. Ad esempio, la rotazione di angolo nel piano cartesiano è del tipo

Traslazioni[modifica | modifica wikitesto]

D'altro canto, una affinità dove è la matrice identità è una traslazione

Una traslazione, a differenza di una trasformazione lineare, non ha mai un punto fisso.

Composizioni[modifica | modifica wikitesto]

Ogni affinità è composizione di una trasformazione lineare e di una traslazione. Ne è un esempio la rototraslazione nello spazio tridimensionale, ottenuta componendo una rotazione di angolo lungo un asse con una traslazione di passo lungo il medesimo. Ad esempio, se l'asse è quello delle la rototraslazione ha la forma

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

Una affinità

è determinata da una matrice quadrata e da un vettore . Per utilizzare gli strumenti dell'algebra lineare è però utile rappresentare una affinità con una matrice sola: per fare questo si aggiunge un valore fittizio "1" in fondo al vettore e si rappresenta la trasformazione nel modo seguente

La matrice associata all'affinità con queste notazioni è quindi

In questo modo, la composizione di due trasformazioni affini è rappresentata dal prodotto delle due matrici corrispondenti. La trasformazione identità è rappresentata dalla matrice identità.

Per essere invertibile, il determinante deve essere diverso da zero. La matrice inversa, che rappresenta la trasformazione inversa, è la seguente

Con questa notazione, le trasformazioni affini di risultano essere un sottogruppo del gruppo generale lineare

delle matrici invertibili a coefficienti nel campo .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Punti fissi[modifica | modifica wikitesto]

Una affinità è rappresentata da una matrice quadrata . Se non ha 1 fra i suoi autovalori, l'affinità ha sempre un punto fisso. Infatti l'equazione può essere riscritta come:

Poiché 1 non è autovalore di , il nucleo di ha dimensione zero e quindi è suriettiva, ovvero la matrice è invertibile ed esiste un che soddisfa l'equazione. Questo è dato da:

Le traslazioni non hanno punti fissi: infatti per queste ha l'autovalore 1.

Punti e rette unite[modifica | modifica wikitesto]

Data l'affinità α:π→π si dice punto unito ogni punto P∈π tale che α(P)=P.

Data l'affinità α:π→π si dice retta unita ogni retta r⊆π tale che α(r)=r.

Indipendenza affine[modifica | modifica wikitesto]

Una affinità di uno spazio affine manda punti affinemente indipendenti in punti affinemente indipendenti.

Se lo spazio affine ha dimensione e

sono due insiemi di punti affinemente indipendenti, esiste un'unica affinità di che manda i primi nei secondi, cioè tale che per ogni .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) R. W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, New York, Springer, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
  • (EN) H.S.M. Coxeter, Introduction to geometry , Wiley (1961)
  • (EN) B.E. Meserve, Fundamental concepts of geometry , Addison-Wesley

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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