Coefficiente angolare

Il coefficiente angolare m è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse x

In geometria analitica il coefficiente angolare, o informalmente pendenza, di una retta nel piano cartesiano è un numero che descrive la direzione e la "ripidezza" della retta. Spesso indicato con $m$, stabilisce insieme all'intercetta delle ordinate $q$ una e una sola retta nel piano cartesiano, mediante la formula:

$y=mx+q.$

Definizione

Il coefficiente angolare di una retta non verticale è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta. Per una retta verticale, il coefficiente angolare non è definito in quanto la definizione comporterebbe una divisione per zero.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale di una retta, $ax+by+c=0$, se $b\neq 0$ (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

$m=-{\frac {a}{b}}.$

Infatti, ponendo $q=-{\frac {c}{b}}$, la retta (non verticale) si esprime mediante l'equazione $y=mx+q$. Allora siano $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ due punti distinti della retta:

${\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\quad \Rightarrow \quad m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\quad \Rightarrow \quad m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

Proprietà

Due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine è la tangente goniometrica dell'angolo $\alpha$ (con segno positivo) formato dal semiasse positivo delle ascisse e la parte di retta giacente nel semipiano superiore (ossia il semipiano corrispondente ai punti di ordinata positiva): la retta infatti passa per il punto di coordinate $(x_{1},y_{1})=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ (tale punto è l'intersezione della retta con la circonferenza goniometrica), quindi

$m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha$

Da ciò deriva che il coefficiente angolare di una retta perpendicolare alla prima avrà coefficiente angolare

$m'=\tan \alpha '=\tan(\alpha +\pi /2)$

Con alcuni calcoli trigonometrici, è possibile mostrare come $\tan(\alpha +\pi /2)=-{\frac {1}{\tan \alpha }}$. Da ciò segue che due rette sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

$mm'=\tan \alpha \left(-{\frac {1}{\tan \alpha }}\right)=-1$

Questa condizione può essere riscritta come $m'=-{\frac {1}{m}}$, ed espressa dicendo che $m'$ è l'antireciproco (opposto del reciproco) di $m$.

Tale ragionamento non può essere applicato qualora una delle due rette non abbia coefficiente angolare definito, cioè nel caso in cui una retta sia verticale. In questo caso, basta richiedere che l'altra retta abbia coefficiente angolare nullo (sia orizzontale).

Coefficiente angolare e derivata

Data una retta descritta come grafico della funzione $f(x)=mx+q$, la derivata della funzione è proprio il coefficiente angolare della retta: $f'(x)=m$.

Voci correlate

• Derivata
• Grafico di una funzione
• Intercetta
• Retta nel piano cartesiano
• Tangente (matematica)

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• Wikizionario

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Collegamenti esterni

• coefficiente angolare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) slope, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Slope, su MathWorld, Wolfram Research.