Automorfismo interno

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Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento g del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

T_g(x)=g^{-1}xg

per un elemento fissato g del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo. Inoltre due elementi g ed h che appartengono allo stesso laterale del centro Z inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se g=hz con z nel centro allora g^{-1}xg = z^{-1}h^{-1}xhz = h^{-1}xh. Ovviamente in un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità.

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un sottogruppo normale del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è isomorfo al gruppo quoziente G/Z(G), dove Z(G) è il centro di G.

Nel gruppo simmetrico su n elementi, se n è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.

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