Automorfismo interno

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Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

per un elemento fissato del gruppo. Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo.

Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

In un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità. Inoltre due elementi ed che appartengono allo stesso laterale del centro inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se con nel centro allora

= =

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con , che è un sottogruppo normale del gruppo degli automorfismi del gruppo . Il gruppo è isomorfo al gruppo quoziente , dove è il centro di .

Nel gruppo simmetrico su elementi, se , tutti gli automorfismi sono interni.

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