Centro di un gruppo

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In matematica, dato un gruppo G, il centro di G è il sottoinsieme di G così definito:

C:= \{ c | gc = cg \mbox{ per ogni elemento }g \in G\}

Si tratta perciò degli elementi di G che commutano con tutti gli elementi di G (compresi quelli non appartenenti a C).[1]

Se G è un gruppo abeliano, chiaramente, C = G.

C è un sottogruppo abeliano ed anche un sottogruppo normale di G: infatti, presi c appartenente a C e g elemento di G, gc = cg implica gcg^{-1} = cgg^{-1} = c1_G = c. Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente G/C.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo il gruppo M(n,\mathbb{R}) delle matrici quadrate invertibili di ordine n ad elementi reali, munite dell'usuale prodotto righe per colonne. Il centro di questo gruppo è dato dai multipli dell'unità \lambda I, cioè dalle matrici diagonali con tutti elementi uguali sulla diagonale. Nel passare al quoziente, vengono identificate le matrici A e B tali che esista un λ reale per cui valga A = λB. I multipli dell'unità vengono quindi identificati con l'elemento unità, che resta il solo a commutare con tutto il resto del gruppo, questo non impedisce che due matrici arbitrarie possano comunque commutare tra di loro.

Altri esempi:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Bosch, S., op. cit., p. 221

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 9788847002210.
  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
  • Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
  • Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 8847006228.
  • J.S. Milne, Group theory, 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.



Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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