Centralizzatore

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In algebra, e più specificamente in teoria dei gruppi, si intende per centralizzatore (o "centralizzante") di un dato elemento appartenente ad un gruppo l'insieme:

In altre parole, è l'insieme degli elementi di che commutano con .

Tale insieme si denota solitamente con , in sintonia con la convenzione di utilizzare la lettera (senza parametro) per indicare il centro di un gruppo (convenzione che a sua volta deriva dal tedesco Zentrum, centro).

Proprietà del centralizzatore[modifica | modifica wikitesto]

Il centralizzatore di un qualsiasi elemento di è un sottogruppo, e la verifica di questo fatto è semplice: siano e due elementi appartenenti al . Allora:

Inoltre, se per assurdo ci fosse un elemento tale che commuti con ma il suo inverso no, avremmo:

, dove è l'identità del gruppo, e quindi è un assurdo.

Infine, l'identità commuta con ogni elemento del gruppo, quindi .

Il centralizzatore di un elemento si dice banale se coincide con il gruppo stesso. I centralizzatori sono evidentemente tutti banali nei gruppi abeliani, ed in generale il centralizzatore di un elemento è banale se e solo se appartiene al centro del gruppo.

Normalizzatore[modifica | modifica wikitesto]

Un concetto correlato è quello di normalizzatore, indicato con NG(S) o semplicemente con N(S), la cui definizione si ottiene da quella di 'centralizzatore', sostituendo però il singolo elemento g con un sottoinsieme S di G (non necessariamente un sottogruppo di G).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il normalizzatore di S in G è quindi l'insieme NG(S) = {xG : xS = Sx}. Anche in questo caso, come si può banalmente dimostrare, N(S) è un sottogruppo di G. Ancora più banale è constatare che la definizione questa definizione sussume quella di 'centralizzatore' (è sufficiente sostituire g con il singleton ).

Il normalizzatore deve il suo nome al fatto che se il sottoinsieme S è anche un sottogruppo di G, allora N(S) è il più grande sottogruppo di G che abbia S come sottogruppo normale. Il normalizzatore non deve confuso con la chiusura rispetto al coniugio.

Sottogruppo auto-normalizzante[modifica | modifica wikitesto]

Un sottogruppo H di G è detto un sottogruppo auto-normalizzante di G se NG(H) = H.

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