Sottogruppo caratteristico

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In matematica, un sottogruppo caratteristico di un gruppo è un sottogruppo tale che per ogni automorfismo di . Esempi di sottogruppi caratteristici sono il sottogruppo banale formato dal solo elemento neutro di , stesso, il centro e il sottogruppo derivato di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Il centro di un gruppo è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento , abbiamo che . Ma allora, dato automorfismo, abbiamo che :
ovvero .
  • Il sottogruppo derivato di , ovvero il sottogruppo generato dai commutatori, è caratteristico, perché l'immagine di ogni commutatore è ancora un commutatore; più precisamente,
.
  • Se è l'unico sottogruppo di di una certa cardinalità , allora è caratteristico, perché per ogni automorfismo l'immagine è ancora un sottogruppo di cardinalità . Questa condizione non è necessaria: ad esempio, se è il gruppo diedrale con 8 elementi (dove è la rotazione e una riflessione), allora è un sottogruppo caratteristico (essendo il centro di ) che ha ordine 2, mentre è un sottogruppo non caratteristico di ordine 2.
  • Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Ogni sottogruppo caratteristico è normale; questo segue dal fatto che un sottogruppo è normale in se e solo se è fissato da ogni automorfismo interno. Viceversa, un sottogruppo normale può non essere caratteristico: ad esempio, il prodotto diretto è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali, ma l'applicazione , definita da
è un automorfismo che manda il sottogruppo in , non in sé.
  • Siano . Se è caratteristico in e è caratteristico in , lo è anche in . Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: né un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico, né un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico sono necessariamente caratteristici.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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