Lemma della farfalla

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Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.

Siano e due sottogruppi di un Gruppo , siano e sottogruppi normali di e rispettivamente, allora:

  1. è normale in
  2. è normale in

I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Una possibile dimostrazione del Lemma è:

Si verifica che é normale in .

Si può osservare che è normale in , infatti e si ha:

.

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che ė normale in .

Si verifica che è normale in .

Si può osservare che è normale in . Infatti, e , si ha:

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che é normale in .

Diagramma Lemma della Farfalla.jpg

La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dá il nome al Lemma:

Nel diagramma sono dati tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:

• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;

• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.

Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:

Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale ,

e come punto finale . Si ha l'isomorfismo:

Applicando il teorema di isomorfismo:

,

Con e .

Questo ci dá l'isomorfismo di sinistra.

L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.

Da cui .

Q.E.D.

FONTI[modifica | modifica wikitesto]

  1. Pierce, p. 27, exercise 1. J. Lambek (1996). "The Butterfly and the Serpent".
  2. In Aldo Ursini, Paulo Agliano. Logic and Algebra. CRC Press. pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
  3. Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky (2009) Rings, Modules and Representations. p. 6. AMS Bookstore, ISBN 0-8218-4370-2
  4. Hans Zassenhaus (1934) "Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg.
  5. Hans Zassenhaus (1958) Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, p 74, Chelsea Publishing.

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