Lemma della farfalla

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Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.

Siano U e V due sottogruppi di un Gruppo G, siano H e K sottogruppi normali di U e V rispettivamente, allora:

  1. H(U \cap K) è normale in H(U \cap V)
  2. (H \cap V)K è normale in (U \cap V)K

I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:

H(U \cap V)/H(U \cap K) \cong (U \cap V)K/(H \cap V)K

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Una possibile dimostrazione del Lemma e':

Si verifica che H(U∩K) é normale in H(U∩V).

Si può osservare che U∩K é normale in U∩V, infatti ∀ k∈U∩K e ∀ v∈U∩V si ha:

vkv^(-1) ∈K perché K é normale in V

vkv^(-1) ∈U perché k e v ∈ U

      ⟹ vkv^(-1) ∈ U∩K

poiché ∀ gruppo ė normale in sé si ha che H(U∩K) ė normale in H(U∩V).

Si verifica che (H∩V)K é normale in (U∩V)K.

Si può osservare che H∩V é normale in U∩V, infatti per ∀ k∈H∩V e ∀ v∈U∩V si ha:

vkv^(-1) ∈U perché H é normale in U

vkv^(-1) ∈V perché k e v ∈V

      ⟹ vkv^(-1) ∈H∩V

Poiché per ∀ gruppo ė normale in sé si ha che (H∩V)K é normale in (U∩V)K.

Diagramma Lemma della Farfalla.jpg

La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dá il nome al Lemma:

Nel diagramma sono dati H, K, U e V, tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:

• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;

• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corresponde al prodotto.

Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:

(H(U∩V))/(H(U∩K))≅(U∩V)/((H∩V)(U∩K))≅(U∩V)K/(H∩V)K

Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale U∩V,

e come punto finale (H∩V)(U∩K). Si ha l'isomorfismo:

(H(U∩V))/(H(U∩K))≅(U∩V)/((H∩V)(U∩K))

Applicando il teorema di isomorfismo:

G/((G∩N))≅GN/N

Con G=U∩V e N =H(U∩K).

Questo ci dá l'isomorfismo di sinistra.

L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.

Da cui (H(U∩V))/(H(U∩K))≅(U∩V)K/(H∩V)K

Q.E.D.

FONTI[modifica | modifica wikitesto]

  1. Dispense di Algebra Lineare Corso tenuto al Politecnico di Milano.
  2. Pierce, p. 27, exercise 1. J. Lambek (1996). "The Butterfly and the Serpent".
  3. In Aldo Ursini, Paulo Agliano. Logic and Algebra. CRC Press. pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
  4. Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky (2009) Rings, Modules and Representations. p. 6. AMS Bookstore, ISBN 0-8218-4370-2
  5. Hans Zassenhaus (1934) "Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg .
  6. Hans Zassenhaus (1958) Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, p 74, Chelsea Publishing.

Algebra Lineare


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