Numero p-adico

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Il sistema dei numeri p-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo p, il sistema dei numeri p-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri p-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei p-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo.

Più concretamente per un dato numero primo p, il campo Qp dei numeri p-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi Qp vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri p-adici per ogni p. Il campo Qp possiede una topologia derivata da una metrica, che è, a sua volta, derivata da una stima alternativa dei numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri p-adici sono conosciuti come numeri \ell -adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo p è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

Motivazioni[modifica | modifica sorgente]

L'introduzione più semplice ai numeri p-adici è considerare i numeri 10-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero ...9999, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "9", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero 1 (che in formato p-adico è ...0001), otteniamo:

\frac{{\;\;\; ...9999 \atop + ...0001}}{...0000}

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un 1. Per i numeri 10-adici si ha quindi che ...9999 = -1. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono 9. Gli avvezzi all'informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di 1 a sinistra; nei 2-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra p-1 per i numeri p-adici.

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

Approccio analitico[modifica | modifica sorgente]

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di \mathbb{Q} non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:

||x||_p=\left(\frac{1}{p}\right)^n dove x\in\mathbb{Q} è scritto in forma irriducibile, n\in\mathbb{Z} tale che x=p^n\frac{a}{b}, p\nmid a, p\nmid b, con a, b e p interi.

Ovviamente da questa norma si definisce di conseguenza una distanza e si può quindi parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri p-adici \mathbb{Q}_p vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di \mathbb{Q} con la norma p-adica. I numeri p-adici di norma minore o uguale a 1 sono detti interi p-adici e l'insieme di tutti gli interi p-adici, in genere indicato con \mathbb{Z}_p, forma un sottoanello di \mathbb{Q}_p.

Viene definita anche la valutazione p-adica v_p(a)=\log_{\frac{1}{p}}||a||_p

Approccio algebrico[modifica | modifica sorgente]

L'approccio algebrico consiste nel considerare \mathbb{Q}_p come il campo dei quozienti di \mathbb{Z}_p, che a sua volta è il limite proiettivo di \mathbb{Z}/(p^n).

La caratteristica di \mathbb{Q}_p è 0 ed infatti il suo sottocampo fondamentale è \mathbb{Q}, e che \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}_psi vede immediante dalla costruzione analitica.

Rappresentazione[modifica | modifica sorgente]

Un modo comune di rappresentare un numero p-adico a\in\mathbb{Q}_p è il seguente:

a=\sum_{i=n}^{\infty}a_ip^i

con a_n\neq 0, dove n\in\mathbb{Z} non è altro che la valutazione p-adica v_p(a) e 0\leq a_i\leq p-1 per ogni i.

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma p-adica \lim_{m\rightarrow +\infty}\sum_{i=m}^{\infty}a_ip^i=0

A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione: a=(a_{-k}a_{-k+1}\dots a_0,a_1\dots a_n\dots) dove gli a_i sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo a_0, i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Generalizzazioni e argomenti correlati[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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