Complemento a due

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Il complemento a due (in inglese two's complement) è il metodo più diffuso per la rappresentazione dei numeri con segno in informatica. L'espressione complemento a due viene spesso usata impropriamente per indicare l'operazione di negazione (cambiamento di segno) nei computer che usano questo metodo. La sua enorme diffusione è data dal fatto che i circuiti di addizione e sottrazione non devono esaminare il segno di un numero rappresentato con questo sistema per determinare quale delle due operazioni sia necessaria, permettendo tecnologie più semplici e con maggiore precisione; si utilizza un solo circuito, il sommatore, sia per l'addizione che per la sottrazione.

Col complemento a due, il bit più significativo del numero ha peso negativo o positivo; da questo deriva che tutti i numeri che cominciano con un "1" sono numeri binari negativi, mentre tutti i numeri che cominciano con uno "0" sono numeri binari positivi.

Un numero binario positivo si può negare invertendone i bit e sommando 1 al valore risultante. Ciò è matematicamente giustificabile se osserviamo come si comporta la somma di un numero binario e del suo inverso: il risultato è una sequenza {\textstyle 111...111{_2}}, che in complemento a 2 rappresenta -1. In simboli:

{\displaystyle x + \overline{x} = -1 \Rightarrow x + \overline{x} + 1 = 0 \Rightarrow \overline{x}+1 = -x}

Allo stesso modo si può ottenere il valore assoluto di un numero binario negativo, ossia prendendo il complementare (invertendo il valore dei singoli bit) e aggiungendo 1 al numero binario risultante.

Un numero binario di n cifre può rappresentare con questo metodo i numeri compresi fra {\textstyle -2^{(n-1)}} e {\textstyle +2^{(n-1)}-1}.

Ad esempio, un numero binario di 8 cifre può rappresentare i numeri compresi tra -128 e +127.

Questo metodo consente di avere un'unica rappresentazione dello zero (quando tutti i bit sono zero, eliminando così la ridondanza dello zero che si verifica con la rappresentazione in modulo e segno), e di operare efficientemente addizione e sottrazione sempre avendo il primo bit a indicare il segno.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Questo metodo di rappresentazione ha notevoli vantaggi, soprattutto per effettuare somme e differenze. Il complemento a due supera infatti gli svantaggi della rappresentazione a modulo e segno soprattutto in termini di complessità realizzativa dei circuiti sommatori.

Come è possibile notare, in complemento a due, il primo bit diventa automaticamente il bit del segno (come per la rappresentazione a modulo e segno), risolvendo però risolto il problema dell'ambiguità dello 0 (in complemento a 2, 00000 e 10000 hanno significati diversi) e vengono enormemente facilitate le operazioni di somma e differenza, che si riducono alla sola operazione di somma: per comprendere meglio è sufficiente un esempio:

5_{10} - 10_{10} = 5_{10} + (-10)_{10} = 0101_2 - 1010_2 = 00101_{CA2} + 10110_{CA2} = 11011_{CA2} = -00101_2 = -5_{10}

Calcolo dell'opposto in complemento a due[modifica | modifica wikitesto]

Per rappresentare l'opposto di un numero binario in complemento se ne invertono, o negano, i singoli bit: si applica cioè l'operazione logica NOT. Si aggiunge infine 1 al valore del numero trovato con questa operazione.

Facciamo un esempio rappresentando il numero -5 con 8 bit in complemento a 2.

Partiamo dalla rappresentazione in binario del numero 5:

0000 0101 (5)

La prima cifra è 0, quindi il numero è sicuramente positivo. Invertiamo i bit: 0 diventa 1, e 1 diventa 0:

1111 1010 

A questo punto abbiamo ottenuto il complemento a uno del numero 5; per ottenere il complemento a due sommiamo 1 a questo numero:

1111 1010 + 0000 0001 = 1111 1011 (-5)

Il risultato è un numero binario con segno che rappresenta il numero negativo -5 secondo il complemento a due. Il primo bit, pari a 1, evidenzia che il numero è negativo.

Il complemento a due di un numero negativo ne restituisce il numero positivo pari al valore assoluto: invertendo i bit della rappresentazione del numero -5 (sopra) otteniamo:

0000 0100

Sommando 1 otteniamo:

0000 0100 + 0000 0001 = 0000 0101 (+5)

Che è appunto la rappresentazione del numero +5 in forma binaria.

Si noti che il complemento a due dello zero è zero stesso: invertendone la rappresentazione si ottiene un byte di 8 bit pari a 1, e aggiungendo 1 si ritorna a tutti 0 (l'overflow viene ignorato).

Addizione[modifica | modifica wikitesto]

Operare l'addizione di due interi rappresentati con questo metodo non richiede processi speciali se essi sono di segno opposto, e il segno viene determinato automaticamente. Facciamo un esempio addizionando 15 e -5:

 11111 1110  (riporto)
  0000 1111  (15)
+ 1111 1011  (-5)
===========
  0000 1010  (10)

Questo processo gioca sulla lunghezza fissa di 8 bit della rappresentazione: viene ignorato un riporto di 1 che causerebbe un overflow, e rimane il risultato corretto dell'operazione (10).

Gli ultimi due bit (da destra a sinistra), ovvero i più significativi, della riga dei riporti contengono importanti informazioni sulla validità dell'operazione: se il risultato è compreso o non è compreso nell'intervallo dei numeri rappresentabili. Si verifica se il riporto è stato eseguito sul bit del segno ma non è stato portato fuori, o viceversa; più semplicemente, se i due bit più a sinistra sulla riga dei riporti non sono entrambi 0 o 1. Per verificare la validità del risultato è conveniente eseguire su questi due bit un'operazione XOR. Vediamo un esempio di addizione a 4 bit di 7 e 3:

 01110  (riporto)
  0111  (7)
+ 0011  (3)
=============
  1010  (-6)

In questo caso, come si può notare dal riporto presente solo sul bit più significativo, si è in presenza di overflow, per cui il risultato non è 10 (come sarebbe corretto) ma -6, infatti il massimo numero positivo rappresentabile in complemento a due su quattro bit è 7 (con n=4: 2n-1 - 1 = 7).

Sottrazione[modifica | modifica wikitesto]

Anche se la sottrazione potrebbe essere eseguita aggiungendo il complemento a due del sottraendo al minuendo, questo procedimento è poco utilizzato in quanto porta più complicazioni che semplicemente costruire un circuito per la sottrazione. Ma come per l'addizione, il vantaggio del complemento a due è l'eliminazione della necessità di esaminare i segni degli operandi per determinare quale operazione sia necessaria. Per esempio, sottrarre -5 a 15 è come aggiungere 5 a 15, ma questo è nascosto dal complemento a due:

  1111 0000  (riporto)
  0000 1111  (15)
− 1111 1011  (−5)
===========
  0001 0100  (20)

L'overflow viene individuato con lo stesso metodo usato per l'addizione, esaminando i due bit più a sinistra sulla riga dei riporti: se sono differenti si è verificato un overflow.

Facciamo un altro esempio con una sottrazione con risultato negativo: 15 − 35 = −20:

  1110 0000  (riporto)
  0000 1111  (15)
− 0010 0011  (35)
===========
  1110 1100  (−20)

Particolarità[modifica | modifica wikitesto]

A parte una singola eccezione, cercando il complemento a due di ogni numero rappresentato con questo metodo, otteniamo il suo opposto: 5 diventa -5, 12 diventa -12, ecc.

Il minor numero rappresentabile (cioè quello negativo con maggior valore assoluto) costituisce l'unica eccezione: vediamo l'esempio del numero -128 nella rappresentazione a 8 bit:

1000 0000  (−128)
0111 1111  (bit invertiti)
1000 0000  (aggiunto 1)

Questo perché 127 è il maggior numero con segno rappresentabile con 7 bit. Si noti che viene segnalato un overflow perché c'è un riporto sul bit del segno ma non fuori di esso.

Nonostante questo sia un numero unico, la sua rappresentazione è valida. Tutte le operazioni possono funzionare con esso sia come operando che come risultato (a meno che non sia successo un overflow).

Analisi matematica[modifica | modifica wikitesto]

I 2n possibili valori degli n bit che vanno a costituire la rappresentazione di un numero intero in forma binaria formano un anello di classi di equivalenza, ovvero gli interi (modulo 2n). Ciascuna classe rappresenta un insieme {j + k·2n | k è un intero} per ogni intero j, 0 ≤ j ≤ 2n − 1. Esistono 2n insiemi del genere, e l'addizione e la moltiplicazione sono ben definite all'interno di essi.

Se le classi sono impiegate per rappresentare i numeri tra 0 e 2n − 1, e l'overflow viene ignorato, si ha un insieme di interi senza segno; ma ognuno di essi è equivalente a sé stesso meno 2n. Quindi le classi possono essere intese come la rappresentazione dei numeri tra −2n−1 e 2n−1 − 1, sottraendo 2n dalla metà di essi.

Per semplicità: con 8 bit si possono rappresentare i numeri interi da 0 a 255. Sottraendo 256 alla metà superiore (da 128 a 255) si ottengono i numeri da -128 a -1, e l'insieme totale comprende ora i numeri da -128 a 127, con segno.

La relazione col complemento a due è resa evidente dal fatto che 256 = 255 + 1, e che 255 - x è il complemento a uno di x.

Esempio

-95 modulo 256 equivale a 161, dal momento che:

−95 + 256
= −95 + 255 + 1
= 255 − 95 + 1
= 160 + 1
= 161
  1111 1111                        255 
− 0101 1111                      −  95   
===========                      =====
  1010 0000  (complemento a uno)   160
+         1                      +   1
===========                      =====
  1010 0001  (complemento a due)   161

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Patterson/Hennessey, Computer Organization and Design, Fifth Edition: The Hardware/Software Interface, MK, 2013, 9780124077263

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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