Norma (matematica)

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In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una norma su uno spazio vettoriale reale o complesso è una funzione:

che verifica le seguenti condizioni:

  • e se e solo se (funzione definita positiva)
  • per ogni scalare (omogeneità)
  • per ogni (disuguaglianza triangolare)

La coppia costituisce uno spazio normato.

Una funzione che verifichi soltanto la seconda e la terza condizione viene chiamata seminorma: la seminorma assegna la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero. Una delle due implicazioni della prima condizione (in particolare ) è comunque automatica dalla seconda condizione e dalle proprietà di uno spazio vettoriale. Ogni spazio vettoriale con una seminorma induce uno spazio normato , detto spazio vettoriale quoziente, in cui il sottospazio di è l'insieme di tutti i vettori tali che . La norma indotta su è ben definita, ed è data da .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Norme diverse nel piano possono essere visualizzate disegnando la sfera unitaria.

Spazi a dimensione finita[modifica | modifica wikitesto]

Sono norme di e di le funzioni:

con . In dimensione tutte queste norme coincidono col valore assoluto. Per non è rispettata la disuguaglianza triangolare quindi essa non potrà essere una norma.

La norma 1 è banalmente la somma dei valori assoluti dei componenti, solitamente indicato secondo la contrazione tensoriale con: , indicando esplicitamente come questa generalizzi il valore assoluto al caso vettoriale.

L'esempio più noto è invece la norma 2 (tanto che il 2 viene solitamente omesso), detta anche norma euclidea, che nello spazio euclideo -dimensionale diventa:

La norma è (impiegando la nozione di limite di una funzione) il massimo dei valori delle componenti in valore assoluto:

Spazi a dimensione infinita[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni sottoinsieme compatto di si consideri lo spazio vettoriale delle funzioni continue a valori reali. Si definiscono allora le Lp (1<p<∞) seminorme:

Fissato insieme arbitrario, la stessa funzione definisce una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni limitate a valori in .

La norma uniforme, in analogia col caso di spazi a dimensione finita, è:

Nello spazio vettoriale delle funzioni quadrato sommabili si definisce la seminorma euclidea:

Prodotto scalare, distanza[modifica | modifica wikitesto]

In generale, ogni prodotto scalare definito positivo induce una norma:

.

Se una distanza definita in uno spazio vettoriale soddisfa le proprietà:

(invarianza per traslazioni)
(omogeneità)

allora la funzione:

è una norma.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Ogni (semi)norma è una funzione sublineare (ma non vale il viceversa), da cui segue che ogni norma è una funzione convessa.
  • La non negatività si potrebbe anche ricavare come conseguenza delle sue proprietà: infatti la proprietà di omogeneità implica che:
e quindi con la disuguaglianza triangolare si ottiene:
per ogni .
  • Disuguaglianza triangolare inversa:
Per ogni :
Infatti:
da cui :
e analogamente:

Struttura topologica[modifica | modifica wikitesto]

La norma induce una metrica tramite:

()

e quindi una topologia, definendo come intorno di ogni insieme che contenga una palla:

per un

La disuguaglianza triangolare inversa implica che la funzione norma è continua rispetto alla topologia che essa stessa induce.

Norme equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Due norme e definite su uno stesso spazio vettoriale sono equivalenti se esistono due costanti e strettamente positive tali che:

per ogni elemento di . Due norme equivalenti definiscono la stessa struttura topologica.

Ad esempio, moltiplicando una norma per una costante fissata positiva, si ottiene una norma equivalente alla precedente.

Dimensione finita[modifica | modifica wikitesto]

Tutte le norme definibili su uno spazio vettoriale di dimensione finita sono equivalenti. In particolare, lo sono le norme e descritte sopra.

Tutte le norme definibili su inducono quindi la stessa topologia, equivalente alla topologia standard euclidea di .

Dimensione infinita[modifica | modifica wikitesto]

In dimensione infinita esistono molti esempi di norme non equivalenti. Si prendano come esempi gli spazi definiti precedentemente. Allora nessuna coppia di norme è equivalente ad un'altra.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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