Teorema fondamentale dell'algebra

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Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado (cioè non costante), a coefficienti reali o complessi del tipo:

ammette almeno una radice complessa o zero. Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente radici complesse contate con la loro molteplicità, mentre ammette al massimo radici reali.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro L'invention en algebre, per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi Arithmetica Philosophica (1608).[1] Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio . Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.[2]

Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.

Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Polinomi a coefficienti reali[modifica | modifica wikitesto]

Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio

Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria . Infatti:

Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due ed ha due radici complesse e .

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.

Dimostrazione basata sullo sviluppo in serie di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

Sia un polinomio a coefficienti complessi di grado .

Abbiamo , quindi esiste tale che

per ogni tale che .

Il disco chiuso è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto in cui assume il suo minimo valore assoluto in .

Proviamo che : sviluppando in serie di Taylor intorno a abbiamo

dove , è intero e con ,

notare che la serie di Taylor è finita poiché per ogni intero essendo un polinomio di grado . Quindi:

dove per .

Per ogni possiamo scegliere di modo che , in tal caso quando allora quindi per sufficientemente piccolo avremo

pertanto

ovvero si è trovato un assurdo.

Dimostrazione basata sull'analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Sia un polinomio complesso, tale che per ogni complesso. Allora la funzione

è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto . D'altra parte

implica

e quindi la funzione è limitata. Per il teorema di Liouville è costante, da cui segue che anche è costante.

Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.

Dimostrazione topologica[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante

vogliamo dimostrare che esiste un punto tale che . A tale scopo possiamo considerare il caso in cui .

Supponiamo per assurdo che non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio parametrizzata da

Il polinomio rappresenta una funzione continua del piano complesso in se stesso e come tale manderà la circonferenza in una curva piana parametrizzata . La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di , e questo qualunque sia il raggio . Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di rispetto all'origine

Poniamo

Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.

Ora consideriamo il valore di per due differenti valori di :

  • per la curva è costituita da un unico punto (l'origine) e la sua immagine sarà quindi anch'essa un unico punto che non può essere l'origine. In questo caso evidentemente si ha che .
  • per abbastanza grandi affinché si abbia
abbiamo che la curva può essere deformata con continuità nella curva definita da
immagine di mediante la funzione polinomiale . Poiché l'indice di questa curva rispetto all'origine è e per l'invarianza omotopica possiamo dedurre che .
Tfa.svg
Per dimostrare questo osserviamo che finché si trova nella circonferenza vale la seguente catena di disuguaglianze:
questo significa che fintanto che si trova sulla circonferenza di raggio la distanza che separa il punto della curva immagine dal punto è minore di quella che separa il punto dall'origine, dunque il segmento che congiunge a non tocca l'origine per ogni in e questo permette di definire una deformazione continua di in che non faccia passare la curva per l'origine.

Il fatto che assuma valori differenti per differenti raggi contradice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti ad un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che non avesse nessuna radice è impossibile.

Campi algebricamente chiusi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Campo algebricamente chiuso.

Si dice che il campo complesso è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in , come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi ed come si può vedere subito considerando i polinomi

che non ha radici nel campo dei razionali, e

che non ha radici nel campo dei reali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Il teorema fondamentale dell'algebra (PDF), Università di Pavia. URL consultato il 27 ottobre 2013.
  2. ^ Una breve storia del Teorema Fondamentale dell'Algebra (TFA), Università di Bari. URL consultato il 27 ottobre 2013.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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