Algebra elementare

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Regola di Ruffini
Divisibilità di binomi notevoli

L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

  • consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
  • consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero x tale che 3\cdot x + 2 = 10);
  • consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono x biglietti, allora il profitto sarà 10x - 5 euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono a + 3 e x^2 - 3.

Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio a + (b + c) = (a + b) + c ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: x^{2} - 1 = 4. Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.

Esempi di equazioni[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

2x + 3 = 10\;

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della x. Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo

2x = 7 \;

e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione

x = \frac{7}{2}

Equazioni come

x^{2} + 3x = 5

sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

(x - 1)^{2} = 0y\;

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

4x + 2y = 14\;
2x - y = 1\;

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

4x + 2y = 14\;
4x - 2y = 2\;

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

8x = 16\;

In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

4x + 2y = 14\;

Sostituiamo 2 al posto di x.

4(2) + 2y = 14\;

Semplifichiamo

8 + 2y = 14\;
2y = 6\;

E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).

Leggi di algebra elementare (su un campo)[modifica | modifica sorgente]

a - b = a + (-b)\;
  • La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
    • La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
    • Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:
 {a \over b} = a \left( {1 \over b} \right)
  • Se ab = 0, allora a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
  • L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
    • L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
      • Esempi: se 3^x = 10 allora x = \log_3 10 . Se x^{2} = 10 allora x = 10^{1 / 2}.
    • La radice quadrata di -1 è i.
  • La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: c(a + b) = ca + cb.
  • La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione:  (a b)^c = a^c b^c .
  • Come combinare gli esponenti:  a^b a^c = a^{b+c} .
  • Se a = b e b = c, allora a = c (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
  • a = a (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
  • Se a = b allora b = a (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
  • Se a = b e c = d allora a + c = b + d.
    • Se a = b allora a + c = b + c per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
  • Se a = b e c = d allora ac = bd.
    • Se a = b allora ac = bc per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
  • Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
  • Se a > b e b > c allora a > c (transitività della disuguaglianza).
  • Se a > b allora a + c > b + c per ogni c.
  • Se a > b e c > 0 allora ac > bc.
  • Se a > b e c < 0 allora ac < bc.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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