Algebra elementare

Calcolo letterale

L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero $x$ tale che $3\cdot x+2=10$ );
consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono $x$ biglietti, allora il profitto sarà $10x-5$ euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono $a+3$ e $x^{2}-3$ .

Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio $a+(b+c)=(a+b)+c$ ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: $x^{2}-1=4$ . Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.

Esempi di equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

2x+3=10\;

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della $x$ . Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo

2x=7\;

e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione

x={\frac {7}{2}}

Equazioni come

x^{2}+3x=5

sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

(x-1)^{2}=0y\;

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

4x+2y=14\;

2x-y=1\;

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

4x+2y=14\;

4x-2y=2\;

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

8x=16\;

In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

4x+2y=14\;

Sostituiamo 2 al posto di x.

4(2)+2y=14\;

Semplifichiamo

8+2y=14\;

2y=6\;

E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).

Leggi di algebra elementare (su un campo)[modifica | modifica wikitesto]

L'addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:

a-b=a+(-b)\;

La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
- Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

{a \over b}=a\left({1 \over b}\right)

Se ab = 0, allora a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
- L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
  - Esempi: se $3^{x}=10$ allora $x=\log _{3}10$ . Se $x^{2}=10$ allora $x=10^{1/2}$ .
- La radice quadrata di -1 è i.
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: $c(a+b)=ca+cb$ .
La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}$ .
Come combinare gli esponenti: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}$ .
Se a = b e b = c, allora $a=c$ (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
$a=a$ (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
Se $a=b$ allora $b=a$ (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
Se $a=b$ $a=b$ e $c=d$ $c=d$ allora $a+c=b+d$ $a+c=b+d$ .
- Se $a=b$ allora $a+c=b+c$ per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se $a=b$ $a=b$ e $c=d$ $c=d$ allora $ac$ $ac$ = $bd$ $bd$ .
- Se $a=b$ allora $ac=bc$ per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
Se $a>b$ e $b>c$ allora $a>c$ (transitività della disuguaglianza).
Se $a>b$ allora $a+c>b+c$ per ogni c.
Se $a>b$ e $c>0$ allora $ac>bc$ .
Se $a>b$ e $c<0$ allora $ac<bc$ .