Algebra elementare
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L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.
Ciò è di grande utilità perché:
- consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
- consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero tale che );
- consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono biglietti, allora il profitto sarà euro").
Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono e .
Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: . Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.
Esempi di equazioni[modifica | modifica wikitesto]
Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come
La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della . Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo
e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione
Equazioni come
sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.
Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:
Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:
Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:
Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:
In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.
Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.
Sostituiamo 2 al posto di x.
Semplifichiamo
E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).
Leggi di algebra elementare (su un campo)[modifica | modifica wikitesto]
- L'addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:
- La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- Se ab = 0, allora a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
- L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
- La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: .
- La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: .
- Come combinare gli esponenti: .
- Se a = b e b = c, allora (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
- (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
- Se allora (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
- Se e allora .
- Se allora per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
- Se e allora = .
- Se allora per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
- Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
- Se e allora (transitività della disuguaglianza).
- Se allora per ogni c.
- Se e allora .
- Se e allora .
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
- Aritmetica
- Algebra
- Monomio
- Binomio
- Trinomio
- Polinomio
- Prodotto notevole
- Distributività
- Frazione (matematica)
Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]
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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Algebra elementare, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.