Algebra elementare

L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

• consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
• consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero $x$ tale che $3\cdot x + 2 = 10$);
• consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono $x$ biglietti, allora il profitto sarà $10x - 5$ euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono $a + 3$ e $x^2 - 3$.

Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio $a + (b + c) = (a + b) + c$ ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: $x^{2} - 1 = 4$. Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.

§Esempi di equazioni

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

$2x + 3 = 10\;$

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della $x$. Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo

$2x = 7 \;$

e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione

$x = \frac{7}{2}$

Equazioni come

$x^{2} + 3x = 5$

sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

$(x - 1)^{2} = 0y\;$

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

$4x + 2y = 14\;$

$2x - y = 1\;$

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

$4x + 2y = 14\;$

$4x - 2y = 2\;$

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

$8x = 16\;$

In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

$4x + 2y = 14\;$

Sostituiamo 2 al posto di x.

$4(2) + 2y = 14\;$

Semplifichiamo

$8 + 2y = 14\;$

$2y = 6\;$

E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).

§Leggi di algebra elementare (su un campo)

• L'addizione è un'operazione commutativa.
  • La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
  • Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:

$a - b = a + (-b)\;$

• La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
  • La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
  • Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

${a \over b} = a \left( {1 \over b} \right)$

• Se ab = 0, allora a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
• L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
  • L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
    • Esempi: se $3^x = 10$ allora $x = \log_3 10$. Se $x^{2} = 10$ allora $x = 10^{1 / 2}$.
  • La radice quadrata di -1 è i.
• La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: $c(a + b) = ca + cb$.
• La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: $(a b)^c = a^c b^c$.
• Come combinare gli esponenti: $a^b a^c = a^{b+c}$.
• Se a = b e b = c, allora $a = c$ (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
• $a = a$ (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
• Se $a = b$ allora $b = a$ (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
• Se $a = b$ e $c = d$ allora $a + c = b + d$.
  • Se $a = b$ allora $a + c = b + c$ per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
• Se $a = b$ e $c = d$ allora $ac$ = $bd$.
  • Se $a = b$ allora $ac = bc$ per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
• Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
• Se $a > b$ e $b > c$ allora $a > c$ (transitività della disuguaglianza).
• Se $a > b$ allora $a + c > b + c$ per ogni c.
• Se $a > b$ e $c > 0$ allora $ac > bc$.
• Se $a > b$ e $c < 0$ allora $ac < bc$.

§Voci correlate

• Aritmetica
• Algebra
• Monomio
• Binomio
• Trinomio
• Polinomio
• Prodotto notevole
• Distributività
• Frazione (matematica)