Gruppo risolubile

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In algebra, un gruppo risolubile è un gruppo che possiede una serie normale abeliana, ovvero tale che esiste una catena di sottogruppi

(dove è l'elemento neutro del gruppo) in cui ogni è normale in e il quoziente è abeliano. Se è un gruppo finito è equivalente richiedere che questi quozienti siano non solo abeliani, ma ciclici.

I gruppi risolubili prendono il nome dalla teoria di Galois: infatti un polinomio è risolubile per radicali su un campo di caratteristica zero se e solo se il suo gruppo di Galois su è risolubile.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni gruppo abeliano è banalmente risolubile attraverso la serie . Altri esempi di gruppi di cui è facile dimostrare la risolubilità sono i gruppi diedrali e i p-gruppi, cioè i gruppi con elementi (con numero primo); anche i gruppi nilpotenti sono risolubili.

William Burnside dimostrò nel 1904 che sono risolubili tutti i gruppi di ordine , con e primi dispari; la sua congettura che questo valesse anche per tutti i gruppi di ordine dispari fu dimostrata nel 1963 da Walter Feit e John Griggs Thompson;[1] questo risultato, noto come teorema di Feit-Thompson, fu un importante passo verso la classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il più piccolo gruppo non risolubile è il gruppo alterno , con 60 elementi. Ogni gruppo semplice non abeliano, non possedendo sottogruppi normali, non è risolubile; altri esempi importanti di gruppi non risolubili sono i gruppi simmetrici , per maggiore o uguale a ; questi sono importanti nel contesto della teoria di Galois, in quanto il polinomio generale di grado ha come gruppo di Galois proprio , e quindi non è risolubile per radicali.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In virtù dei teoremi di isomorfismo, sia i sottogruppi che i quozienti di un gruppo risolubile sono risolubili; nessuno di questi due criteri può essere tuttavia invertito, in quanto ogni gruppo contiene sottogruppi abeliani (quindi risolubili) e ogni gruppo ha come quoziente , cioè il gruppo col solo elemento neutro, che è ovviamente risolubile. Combinare queste due proprietà dà tuttavia un criterio sufficiente: se è un sottogruppo (normale) di e sia che sono risolubili allora anche il gruppo è risolubile. Attraverso questa proprietà si dimostra che il prodotto diretto di un numero finito di gruppi risolubili è ancora risolubile.

Una caratterizzazione dei gruppi risolubili può essere data anche attraverso la sua serie derivata: detto il sottogruppo derivato di , cioè il sottogruppo generato dai commutatori di (gli elementi nella forma al variare di e in ), un gruppo è risolubile se e solo se la successione

in cui ogni sottogruppo è il derivato del precedente, raggiunge il sottogruppo banale .

Per i gruppi finiti, la risolubilità equivale all'esistenza di una serie di composizione i cui fattori siano tutti gruppi semplici abeliani; questo non vale per i gruppi infiniti, perché, ad esempio, sebbene degli interi sia risolubile (perché abeliano) ha ogni sottogruppo non banale isomorfo a sé stesso, e quindi non possiede una serie di composizione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Walter Feit e John Griggs Thompson, Solvability of groups of odd order, in Pacific Journal of Mathematics, vol. 13, 1963, pp. 775-1029, ISSN 0030-8730, MR 0166261. URL consultato il 29 maggio 2009.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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