Dominio ad ideali principali

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In algebra, un dominio ad ideali principali (spesso abbreviato in PID, dall'inglese Principal Ideal Domain) è un dominio d'integrità in cui ogni ideale è principale, ovvero generato da un solo elemento. I domini d'integrità sono una classe di anelli molto simile ai numeri interi: ogni elemento può essere scritto come prodotto di elementi primi (cioè è un dominio a fattorizzazione unica), e ogni coppia di elementi ha un massimo comun divisore che può essere espresso attraverso un'identità di Bézout.

Un anello commutativo unitario in cui ogni ideale è generato da un solo elemento (ammettendo cioè la presenza di divisori dello zero, ovvero elementi a, b non nulli tali che ab = 0) sono detti anelli ad ideali principali; a volte, tuttavia, si usa "anello ad ideali principali" per indicare i domini ad ideali principali.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • L'anello Z dei numeri interi è ad ideali principali.
  • Ogni campo K è ad ideali principali in modo banale, in quanto gli unici ideali sono (0) e K stesso, che è generato da 1.
  • L'anello K[x] dei polinomi in una variabile x con coefficienti in un campo K è ad ideali principali; al contrario, K[x, y] e Z[x] non lo sono, in quanto (rispettivamente) gli ideali (x,y) e (2,x) non sono principali.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Un dominio ad ideali principali è anche a fattorizzazione unica, e quindi eredita tutte le proprietà di questo:

  • un elemento dell'anello è primo se e solo se è irriducibile;
  • ogni elemento si scompone in prodotto di elementi primi, e la scomposizione è unica;
  • l'anello è integralmente chiuso;
  • ogni coppia di elementi ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo: più precisamente, l'MCD tra a e b è il generatore dell'ideale generato da a e b, mentre l'mcm è il generatore dell'ideale . Poiché il massimo comun divisore fa parte dell'ideale (a,b), può essere espresso come loro combinazione lineare, cioè ogni coppia di elementi possiede un'identità di Bézout.

I PID non esauriscono i domini a fattorizzazione unica: ad esempio gli anelli Z[x] e K[x, y] sono a fattorizzazione unica, ma non ad ideali principali. Un dominio a fattorizzazione unica è ad ideali principali se e solo se ha dimensione 1 o 0 (in quest'ultimo caso è un campo).

Ogni dominio ad ideali principali è noetheriano, e ogni suo ideale primo non nullo è massimale: unito al fatto di essere integralmente chiuso, questo implica che ogni PID non banale (ovvero che non è un campo) è un dominio di Dedekind. Inoltre, un dominio di Dedekind è ad ideali principali se e solo se è a fattorizzazione unica.

Una proprietà più forte dell'essere ad ideali principali è l'essere un dominio euclideo; un esempio di PID non euclideo è dato dall'anello .

Moduli[modifica | modifica wikitesto]

La struttura dei moduli finitamente generati su un dominio ad ideali principali è molto semplice, ed è analoga alla struttura dei gruppi abeliani finitamente generati: di fatto, i gruppi abeliani sono Z-moduli, e quindi la classificazione dei moduli finitamente generati su un PID può essere vista come una generalizzazione di quella dei gruppi abeliani.

Se A è un dominio ad ideali principali, ogni A-modulo finitamente generato è somma diretta di un numero finito di moduli ciclici (ovvero generati da un solo elemento): ognuno di essi, inoltre, è isomorfo al quoziente per un (questo comprende anche i moduli liberi, che si possono ottenere prendendo x = 0). L'unicità della rappresentazione può prendere due forme: un modulo può essere scritto come

con , oppure come

dove i qi sono potenze di elementi primi; in entrambi i casi i di e i qi sono diversi da 0 e 1. Se la scomposizione in fattori ciclici rispetta una di queste due forme canoniche, allora la scomposizione è unica (nel secondo caso, a meno dell'ordine dei fattori).

Come corollari di questa classificazione si ottengono la classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita (considerando A=K, in quanto i K-moduli sono precisamente i K-spazi vettoriali) e la forma canonica di Jordan per applicazioni lineari su un campo algebricamente chiuso (considerando A=K[T]).

Un'altra proprietà dei moduli finitamente generati è la seguente: se M è privo di torsione allora è libero. Questo non vale in anelli generici (basta prendere un ideale non principale) né per moduli su un PID ma non finitamente generati: un esempio è lo Z-modulo Q dei numeri razionali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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