Lunghezza di un modulo

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In matematica, la lunghezza di un modulo è una quantità (un numero naturale oppure infinito) che misura la "grandezza" di un modulo, generalizzando la nozione di dimensione degli spazi vettoriali.

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Sia un modulo su un anello . La lunghezza di una catena di sottomoduli è definita come il numero massimo di inclusioni strette: così la catena

ha lunghezza . La lunghezza di su , indicata come (o se non c'è rischio di confusione) è l'estremo superiore delle lunghezze delle catene di -sottomoduli di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il modulo è l'unico modulo ad avere lunghezza 0, mentre i moduli semplici (ovvero i moduli senza sottomoduli propri) sono gli unici ad avere lunghezza 1. Se l'anello è un campo, allora le catene di sottomoduli non sono altro che le catene di sottospazi vettoriali; di conseguenza, la lunghezza di come -modulo coincide con la dimensione di come spazio vettoriale.

L'anello (o, più in generale, qualsiasi anello la cui dimensione di Krull è maggiore di 1) non ha lunghezza finita su sé stesso: ad esempio, nel caso di , dato un intero arbitrario, la catena

ha lunghezza .

Moduli di lunghezza finita[modifica | modifica wikitesto]

Un modulo è di lunghezza finita se e solo se i suoi sottomoduli verificano contemporaneamente la condizione della catena ascendente e la condizione della catena discendente, ovvero se e solo se è contemporaneamente un modulo noetheriano e un modulo artiniano; in particolare, un anello è di lunghezza finita su sé stesso se e solo se è artiniano, ovvero noetheriano e di dimensione 0. In tal caso, la lunghezza di è uguale alla lunghezza di una sua qualsiasi serie di composizione, ovvero di una catena di sottomoduli

tale che ogni quoziente sia un modulo semplice.

Il teorema di Krull-Schmidt garantisce che ogni modulo di lunghezza finita può essere espresso come somma diretta (finita) di una famiglia di moduli indecomponibili.

Successioni esatte[modifica | modifica wikitesto]

Sia

una successione esatta di -moduli. Allora , e in particolare ha lunghezza finita se e solo se sia che hanno lunghezza finita. In particolare, i sottomoduli e i quozienti di un modulo di lunghezza finita sono di lunghezza finita, così come la somma diretta finita di moduli di lunghezza finita; in quest'ultimo caso, la lunghezza della somma è uguale alla somma della lunghezza degli .

Esiste inoltre un analogo della formula di Grassmann: se sono sottomoduli di , allora

.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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