Quasi-anello

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In matematica un quasi-anello (near-ring in inglese) è una struttura algebrica più "debole" di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Parleremo, quindi, di quasi-anelli sinistri se

e di quasi-anelli destri se

.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme , dotato di due operazioni binarie e , è un quasi-anello (sinistro) se valgono i seguenti assiomi:

  • è un gruppo con elemento neutro ;
  • è un semigruppo;
  • La moltiplicazione a sinistra è distributiva rispetto alla somma: .

Gli anelli sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.

Giustificazione[modifica | modifica wikitesto]

Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.

Sia dato un gruppo e sia la famiglia di tutte le funzioni

di su se stesso (inteso come insieme).

Definiamo la somma in :

ove è la somma definita in , mentre è la somma in .

Definiamo il prodotto in :

ove è il prodotto definito in , mentre è la usuale composizione di funzioni.

Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme di una struttura di quasi-anello sinistro.

Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di per un opportuno gruppo .

Quasi-anelli con unità[modifica | modifica wikitesto]

Se contiene l'elemento neutro rispetto al prodotto, diremo che è un quasi-anello con unità.

Quasi-anelli zerosimmetrici[modifica | modifica wikitesto]

Sia un quasi-anello sinistro. Per ogni vale l'uguaglianza (ove è l'elemento neutro rispetto alla somma), infatti:

In genere, però, non è detto che sia ; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga , sono detti zerosimmetrici.

Quasi-corpi[modifica | modifica wikitesto]

Un quasi-corpo è un quasi-anello i cui elementi distinti dallo zero formano un gruppo rispetto al prodotto.

Ideali in un quasi-anello[modifica | modifica wikitesto]

Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:

Si dice ideale (bilatero) di un quasi-anello sinistro un suo sottoinsieme tale che: 1) è un sottogruppo normale di ; 2) appartiene a per ogni di e per ogni di ; 3) appartiene a per ogni di e per ogni di .

Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che è un ideale sinistro; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che è un ideale destro.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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