Lemma di Gauss (polinomi)

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Con il nome di lemma di Gauss ci si riferisce, nella teoria dei polinomi, a due diverse affermazioni:

  • il prodotto di due polinomi primitivi è anch'esso primitivo;
  • se un polinomio è irriducibile in , allora è irriducibile anche in , cioè un polinomio a coefficienti interi irriducibile negli interi è irriducibile anche nei razionali.

La seconda asserzione è una diretta conseguenza della prima ed entrambe si possono estendere al caso in cui al posto di si considera un dominio a fattorizzazione unica R e al posto di si considera il campo della frazioni F di R.

Prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Dimostrazione del primo lemma[modifica | modifica wikitesto]

Siano f(x) e g(x) due polinomi primitivi (a coefficienti interi); questo vuol dire che il massimo comun divisore dei coefficienti di ciascun polinomio è 1. Supponiamo per assurdo che il loro prodotto h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo: di conseguenza esisterà un primo p che divide tutti i coefficienti di h(x). Poiché f(x) e g(x) sono primitivi, esisteranno dei loro coefficienti che non sono divisi da p.

L'idea è ora di "costruire" un coefficiente di h(x) che non è diviso da p: consideriamo dunque ar e bs, i due coefficienti di grado minimo che non sono divisi da p, e costruiamo cr+s, il coefficiente di h(x) di grado r+s. Lo possiamo scrivere come:

Il primo addendo non è divisibile per p; tuttavia lo sono le due quantità tra parentesi, in quanto ognuno tra i bs-1, bs-2... lo è, come ognuno tra i ar-1, ar-2, eccetera. Quindi si può scrivere

per un h intero. Ma cr+s è somma di una quantità divisibile e una no, e dunque non può essere divisibile per p e ciò è assurdo. Quindi h(x) è primitivo, come volevasi dimostrare.

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra dimostrazione può essere data usando l'anello dei polinomi a coefficienti nel campo finito

Si assuma infatti per assurdo che h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Come nella dimostrazione precedente, esisterà un primo p che divide tutti i suoi coefficienti. Allora nell'anello risulterà f(x) g(x)=0. Ma essendo un campo, è anche un dominio d'integrità (ovvero, non esistono divisori dello zero), e quindi anche l'anello dei suoi polinomi è un dominio d'integrità. Quindi uno tra f(x) e g(x) dovrebbe essere 0 in , ovvero tutti i suoi coefficienti dovrebbero essere divisibili per p. Ma avevamo supposto che sia f(x) che g(x) fossero primitivi, e quindi questo è assurdo, e h(x) è primitivo.

Dimostrazione del secondo lemma[modifica | modifica wikitesto]

Questo secondo lemma è equivalente a dire che se un polinomio a coefficienti interi si scompone in , allora si scompone anche in .

Se f(x) non è primitivo allora si ottiene subito una scomposizione non banale in e quindi possiamo assumere, senza perdere in generalità, che f(x) sia primitivo. Se si pone f(x)=g(x) h(x), con non costanti, allora esistono tali che e siano polinomi primitivi di . Abbiamo dunque:

Per il lemma precedente, il prodotto di g'(x) e h'(x) è primitivo come f(x), e quindi ab deve essere uguale a , e quindi f(x) è riducibile in .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

  • Conseguenza del primo lemma è che l'MCD del prodotto di due polinomi è il prodotto del loro MCD.
  • Il secondo lemma implica che si può capire l'irriducibilità di un polinomio tra i razionali studiando un polinomio tra gli interi, dove possono essere applicati strumenti come il criterio di Eisenstein.