Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

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In matematica, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che un sottogruppo di un gruppo finito ha ordine (cioè numero di elementi) che divide l'ordine del gruppo.

Prende nome da Joseph-Louis Lagrange.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo e a un suo sottogruppo . Si considera l'insieme

delle classi laterali (sinistre)

di in ; questo forma una partizione di , ovvero è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni la funzione che manda in è una biezione.

Nel caso in cui è finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine di . Se si denota con l'indice di in (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi

In particolare, l'ordine di divide l'ordine di .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dal teorema di Lagrange segue che, se è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento (ovvero il più piccolo intero positivo tale che sia l'identità) divide l'ordine di : questo segue dal fatto che l'ordine di coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da . Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.

Viceversa[modifica | modifica wikitesto]

In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se è un intero positivo che divide l'ordine di , non è detto che abbia un sottogruppo di ordine . Per esempio, il gruppo alterno ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine pari: infatti, un sottogruppo di ordine sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.

L'inverso vale però se è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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