Sottogruppo di torsione

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In matematica, e più specificamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di torsione (talvolta detto componente di torsione o semplicemente torsione) di un gruppo abeliano è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito.

Un gruppo viene detto di torsione (o periodico) se ogni suo elemento ha ordine finito e libero da torsione se invece ogni suo elemento a parte l'identità ha ordine infinito. Sono ovviamente gruppi di torsione tutti i gruppi finiti.

Il sottogruppo di torsione è un oggetto matematico importante per alcuni risultati sulla struttura dei gruppi, come il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti.

Sottogruppo di p-torsione[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo e p un numero primo; allora il sottogruppo di p-torsione (spesso segnato come G(p)) di G viene definito come segue:

G(p)=\{ g \in G \;|\; \exists k \in \mathbb{N}\;, o(g)= p^k \}\;

In altre parole, il sottogruppo di p-torsione è l'insieme degli elementi il cui ordine è una potenza di p

Componente di torsione nei gruppi non abeliani[modifica | modifica sorgente]

La componente di torsione di un gruppo non abeliano non è, in generale, un sottogruppo. Per esempio, nel gruppo diedrale infinito, con la rappresentazione:

\langle s_1, s_2 \mid s_1^2 = s_2^2 = 1 \rangle

s_1 ed s_2 sono entrambi elementi del gruppo di torsione, mentre s_1 s_2 ha ordine infinito.

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