Campo di spezzamento

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In algebra, un campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio p(x) definito su un campo K è un'estensione L di K su cui il polinomio p si fattorizza come

 p(x) = (x-r_1)\dots (x-r_n)

e tale che le radici  r_1,\ldots, r_n generino L su K.

Ogni campo K ha un unico campo di spezzamento (a meno di isomorfismo).

Se A è un campo algebricamente chiuso contenente K, esiste un unico campo di spezzamento L di p contenuto in A. In questo modo, i campi di spezzamento dei polinomi su K possono essere visti come particolari sottocampi di A

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Se K = Q è il campo dei numeri razionali e

     p(x) = x^3-2.

    Poiché C è algebricamente chiuso, esiste un unico sottocampo di C che è campo di spezzamento per p, ed è il sottocampo generato (su Q) dalle 3 radici complesse di 2 (una di queste è reale).
  • Il campo di spezzamento di  x^2+1 sul campo R dei numeri reali è tutto C.
  • Il campo di spezzamento di  x^{p^n} -x sul campo Z/p delle classi di resto modulo p (dove p è un numero primo) è un campo finito di ordine pn.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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