Campo di spezzamento

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In algebra, il campo di spezzamento (o campo di riducibilità completa) di un polinomio , definito su un campo , è la più piccola estensione di che contiene tutte le radici di .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo e un polinomio a coefficienti in . Un'estensione di è un campo di spezzamento se:

  • esistono (non necessariamente distinti) tali che
;
  • l'estensione generata da su è uguale ad .

La seconda condizione può anche essere espressa dicendo che, se è un'estensione intermedia tra e (ovvero se ), allora esiste un tale che ; in questo senso, è la più piccola estensione di che contiene tutte le radici di .

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Se è un polinomio a coefficienti in , è sempre possibile costruire un campo di spezzamento di su , applicando ripetutamente quozienti di anelli di polinomi.

Supponiamo infatti che si fattorizzi in come . Allora, l'anello quoziente è un campo (poiché è un ideale massimale) che contiene e una radice di . La fattorizzazione di in comprenderà quindi un fattore lineare (corrispondente alla radice di ).

Il procedimento può essere ripetuto (passando poi ai fattori ) e termina dal momento che il grado di è finito; il campo che si ottiene alla fine è esattamente un campo di spezzamento di su .

Applicando questa costruzione ad ogni polinomio (con l'aiuto del lemma di Zorn se il campo di partenza non è numerabile) si ottiene la costruzione di una chiusura algebrica di .

Unicità[modifica | modifica wikitesto]

Due campi di spezzamento di uno stesso polinomio, su uno stesso campo, sono isomorfi.

Se è un campo algebricamente chiuso contenente (ad esempio, se è la sua chiusura algebrica) allora esiste un unico campo di spezzamento di contenuto in . Gli isomorfismi di questo campo di spezzamento formato un gruppo, detto gruppo di Galois del polinomio; esso misura, in un certo senso, in quanti modi diversi il campo di spezzamento di può essere costruito.

I sottocampi di che sono campi di spezzamento di un polinomio a coefficienti in sono esattamente le estensioni algebriche, normali e di grado finito di .

Se è irriducibile, tale campo è la chiusura normale del sottocampo , dove è una qualsiasi radice di .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Sia il campo dei numeri razionali e . Il campo di spezzamento di contenuto nel campo dei numeri complessi (che è algebricamente chiuso) è il sottocampo generato (su ) dalla radice cubica di 2 e dalle radici terze dell'unità.
  • Il campo di spezzamento di sul campo dei numeri reali è tutto .
  • Il campo di spezzamento di sul campo delle classi di resto modulo (dove è un numero primo) è un campo finito di ordine . In particolare, l'esistenza e l'unicità dei campi di spezzamento dimostra che, se è la potenza di un numero primo, allora esiste un unico campo (a meno di isomorfismo) di cardinalità .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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