Numero complesso iperbolico

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In algebra lineare, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo \varepsilon, e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a 1. I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.

I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.

Algebra dei complessi iperbolici[modifica | modifica sorgente]

Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:

z = a + b \varepsilon,

dove a e b sono numeri reali, e vale la relazione:

\varepsilon^2 = 1.

Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando \varepsilon come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione \varepsilon^2 = 1 (o, più in generale, \varepsilon^{2n} = 1 per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e \varepsilon^{2n+1} = \varepsilon per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici z_1 = a_1 + b_1 \varepsilon e z_2 = a_2 + b_2 \varepsilon:


\begin{matrix}
z_1 + z_2 & = & (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) \varepsilon \\
z_1 z_2 & = & (a_1 a_2 + b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \varepsilon \\
\end{matrix}

L'inverso moltiplicativo del numero a + b \varepsilon è:

\left( a + b \varepsilon \right)^{-1} = \frac{a - b \varepsilon}{a^2- b^2},

ed è definito solamente se a^2 - b^2 \neq 0, per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.

I complessi iperbolici come anello quoziente[modifica | modifica sorgente]

È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente

\frac{\mathbb{R}[X]}{(X^2 - 1)},

dove \mathbb{R}[X] è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in (X^2 - 1) è l'ideale generato dal polinomio X^2-1. Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali (X - 1) e (X + 1), pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.

Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare \alpha \in \mathbb{R}:

\alpha (a + b \varepsilon) = \alpha a + \alpha b \varepsilon,

i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione 2. Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.

Metrica[modifica | modifica sorgente]

I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero z = x + y \varepsilon come z^* = x - y \varepsilon. Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:

|z| = z z^* = x^2 - y^2.

La metrica così definita ha segnatura (1,-1) e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:

\lVert z w \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert..

È anche possibile definire un'equivalente della formula di Eulero:

\exp(\varepsilon \theta) = \cosh(\theta) + \varepsilon\sinh(\theta).

I numeri della forma \exp(\varepsilon \theta) hanno modulo uguale a 1 secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:

x^2 - y^2 = 1.

Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per \exp(\varepsilon \theta) conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.

È anche possibile definire il prodotto scalare come:

\left\langle z_1, z_2 \right\rangle = \left\langle a_1 + b_1 \varepsilon, a_2 + b_2 \varepsilon \right\rangle = \Re \left( z_1 z_2^* \right) = \Re \left( z_1^* z_2 \right) = a_1 a_2 - b_1 b_2.

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica sorgente]

Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria \varepsilon sono esprimibili dalla matrice:


\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}.

In generale, il numero complesso iperbolico a + b \varepsilon è rappresentato dalla matrice


\begin{pmatrix}
a & b \\
b & a
\end{pmatrix}.

Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}.

La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:

\begin{pmatrix}\cosh\theta & \sinh\theta \\ \sinh\theta & \cosh\theta\end{pmatrix}.

La base diagonale[modifica | modifica sorgente]

L'unità reale 1 e quella immaginaria \varepsilon costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:


\begin{matrix}
e & = & \frac{1 - \varepsilon}{2} \\
e^* & = & \frac{1 + \varepsilon}{2}
\end{matrix}

La base formata da e ed e^* è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:

z = a + b \varepsilon = (a - b) e + (a + b) e^*.

Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri z_1 = x_1 e + y_1 e^* e z_2 = x_2 e + y_2 e^* valgono le seguenti:

  • moltiplicazione: z_1 z_2 = (x_1 x_2) e + (y_1 y_2) e^*;
  • coniugazione: z_1^* = y_1 e + x_1 e^*;
  • modulo: \lVert z_1 \rVert = x_1 y_1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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