Numero complesso iperbolico

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In matematica, i numeri complessi iperbolici (o numeri complessi spezzati) sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento non reale, usualmente indicato con il simbolo , e detto unità immaginaria iperbolica, il cui quadrato è uguale a . I numeri complessi iperbolici presentano numerose analogie con gli ordinari numeri complessi; a differenza di questi, però, non costituiscono un campo, ma solamente un anello.

I numeri complessi iperbolici furono introdotti nel 1848 da James Cockle, e utilizzati da William Clifford per rappresentare la somma di rotazioni. A partire dal XX secolo sono stati utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz all'interno della relatività ristretta.

Algebra dei complessi iperbolici[modifica | modifica wikitesto]

Un numero complesso iperbolico può essere espresso nella forma:

,

dove e sono numeri reali, e vale la relazione:

.

Sui numeri complessi è possibile eseguire le normali operazioni algebriche, considerando come una variabile, e avendo cura di eseguire la sostituzione (o, più in generale, per ogni potenza pari dell'unità immaginaria iperbolica, e per ogni potenza dispari). È quindi possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri complessi iperbolici e :

L'inverso moltiplicativo del numero è:

,

ed è definito solamente se , per cui i numeri complessi iperbolici non formano un campo.

I complessi iperbolici come anello quoziente[modifica | modifica wikitesto]

È possibile definire i numeri iperbolici come gli elementi dell'anello quoziente

,

dove è l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali, e in è l'ideale generato dal polinomio . Questo ideale non è massimale, perché è contenuto nei due ideali e , pertanto l'anello dei numeri complessi iperbolici non è un campo. Inoltre, le operazioni di somma e prodotto sono continue rispetto all'usuale topologia del piano, per cui l'anello è anche un anello topologico.

Definendo l'operazione di prodotto per uno scalare :

,

i numeri complessi iperbolici formano una algebra associativa e commutativa dotata di unità, di dimensione . Questa algebra è anche un'algebra di Clifford, dotata di una forma quadratica definita positiva.

Metrica[modifica | modifica wikitesto]

I numeri iperbolici complessi possono essere rappresentati sul piano reale, analogamente agli usuali numeri complessi; questo piano tuttavia non possiede la metrica euclidea: definiamo il coniugato del numero come . Il modulo di un numero complesso iperbolico è allora definito come:

.

La metrica così definita ha segnatura e dota i numeri complessi iperbolici della struttura di spazio di Minkowski, ed è conservata dalla moltiplicazione:

.

È anche possibile definire un'equivalente della formula di Eulero:

.

I numeri della forma hanno modulo uguale a secondo la metrica appena definita, e giacciono sull'iperbole equilatera di equazione:

.

Questa iperbole svolge sul piano iperbolico un ruolo analogo a quello della circonferenza unitaria sul piano complesso. La moltiplicazione per conserva la norma, e corrisponde ad una rotazione iperbolica, ovvero ad una trasformazione di Lorentz.

È anche possibile definire il prodotto scalare come:

.

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

Le proprietà algebriche dell'unita immaginaria sono esprimibili dalla matrice:

In generale, il numero complesso iperbolico è rappresentato dalla matrice

Le usuali operazioni di somma e moltiplicazione tra matrici coincidono con la somma e il prodotto definiti sopra. L'operazione di coniugazione corrisponde alla moltiplicazione da ambo i lati per la matrice:

.

La rotazione iperbolica corrisponde alla moltiplicazione per la matrice:

La base diagonale[modifica | modifica wikitesto]

L'unità reale e quella immaginaria costituiscono una base per il piano complesso iperbolico; è possibile tuttavia utilizzare altre basi mediante opportuni cambi di coordinate. Una base particolarmente utilizzata è quella costituita dai due elementi idempotenti non banali:

La base formata da ed è detta base diagonale o base nulla, in quanto i suoi componenti hanno modulo nullo. La trasformazione delle coordinate da una base all'altra è data dalla seguente formula:

.

Alcune operazioni tra numeri complessi iperbolici hanno una espressione molto più semplice nella base diagonale; dati i numeri e valgono le seguenti:

  • moltiplicazione: ;
  • coniugazione: ;
  • modulo: .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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