Polinomio ciclotomico

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In matematica, l'-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

dove è la funzione di Eulero, e sono quei numeri distinti per cui vale

Formula generale[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio ha come radici tutte le radici -esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice -esima primitiva, dove è un divisore positivo di . Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene

dove è la funzione di Möbius.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di da a :

.

Valutando l'espressione sopra su un qualunque numero naturale , è una repunit in base ; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se è primo e , allora oppure .

Elenco di polinomi ciclotomici[modifica | modifica wikitesto]

I primi polinomi ciclotomici sono:

È stato dimostrato da A. Migotti che se ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora ha solo coefficienti tra , e [1]. Il primo a non soddisfare queste ipotesi è , e calcolando si nota che tra i coefficienti compare un . Il viceversa non vale: = ha solo coefficienti in ma è prodotto di tre primi distinti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Martin Isaacs, Algebra: A Graduate Course, AMS Bookstore, 2009, p. 310, ISBN 978-0-8218-4799-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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