Polinomi ortogonali

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In matematica, una famiglia di polinomi per dove per ogni si ha un polinomio di grado , si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso positiva nell'intervallo scelto se

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi e dia

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

  • I polinomi di Čebyšëv di prima specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
  • I polinomi di Čebyšëv di seconda specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
  • I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
  • I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
  • I polinomi di Laguerre con , ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

dove gli sono numeri interi nell'intervallo . Con questa definizione,

  • i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con );
  • i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con ).

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.

Polinomi ortonormali[modifica | modifica wikitesto]

In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:

per ogni .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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